Вычислить значение тригонометрических функций sin 30
Обновлено: 07.07.2024
Для определения значения тригонометрической функции, найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов - ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой "30 градусов", на их пересечении считываем результат - одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2 ) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других "популярных" углов.
Значения тригонометрических функций синуса, косинуса, тангенса при α=30°
Рассмотрим равносторонний треугольник АВС. Пусть, каждая из его сторон будет равна a . Согласно свойствам равностороннего треугольника, все его углы равны, в том числе угол ∠В=60°.
Значения синуса, косинуса и тангенса мы можем вычислить, если найдем соотношение соответствующих сторон для угла 30 градусов в прямоугольном треугольнике. Так как значение этих тригонометрических функций зависит исключительно от градусной меры угла, то вычисленные нами соотношения и будут значениями синуса 30, косинуса 30 и тангенса 30 градусов.
Сначала совершим дополнительные построения. Из вершины А на сторону BC проведем медиану AO.
Медиана АО в равностороннем треугольнике одновременно является биссектрисой и высотой.
Тогда треугольник АОВ – прямоугольный с углом ∠ВАО=30°. (Угол В равен 60 градусам, ∠ВOA прямой и равен 90 градусам, следовательно, ∠ВАО = 180 - 90 - 60 = 30 градусов)
Табличные значения sin 60, cos 60 и tg 60 градусов:
Как именно были вычислены эти функции, описано выше. Здесь же приведены сами значения:
Как видно из расчетов, приведенных выше, при вычислении значения конкретной тригонометрической функции важны не конкретные длины сторон, а только их соотношение, которое всегда будет одинаковым для одних и тех же углов, вне зависимости от размеров треугольника.
Синус, косинус і тангенс кута пі на 6 (π/6)
Виходячи з написаного вище принципу переведення радіан в градуси, кут пі на 6 дорівнюватиме180 / 6 = 30 градусів.
- Тангенс пі на 6 (π/6) дорівнює кореню з трьох на три
- Синус пі на 6 (π/6) дорівнює однієї другої (1/2) або 0,5
- Косинус пі на 6 (π/6) дорівнює кореню з трьох на два
Примечание. Данная статья показывает, как вычисляется значение sin 60, cos 60 и подобных значений. Если Вы хотите посмотреть сводную справочную информацию - перейдите на таблицу значений тригонометрических функций
В этой статье ты научишься как найти значение тригонометрических функций специальных углов \(30°\) , \(45°\) и \(60°\) .
Сначала рассмотрим тригонометрические функции углов \(30°\) , \(45°\) и \(60°\) .
Рассмотрим треугольник \(30°-60°-90°\) , отношение сторон которого равно \(1,\sqrt\) и \(2\) :
Аналогично для остальных тригонометрических значений.
Далее рассмотрим равнобедренный треугольник с углами \(45°-45°-90°\) , отношение сторон которого равно \(1, 1 \) и \(\sqrt<2>\) :
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Репетитор 5-9 классов. Быстро нахожу контакт с учеником, заинтересовываю предметом. Рада помочь в развитии математического мышления, а главное – в получении удовольствия от занятий математикой!
Репетитор 5-9 классов. Мною разработана собственная методика повышения уровня грамотности. Использую только индивидуальный подход к каждому ученику. С радостью буду ждать на занятиях!
Симферопольский государственный университет им. Фрунзе, Таврический национальный университет им Вернадского
Репетитор 4-11 классов. Готовлю к ОГЭ и ЕГЭ. С удовольствием окажу помощь школьникам в овладении английским языком, в повышении уровня языковой компетенции. На наших занятиях мы будем использовать упражнения на формирование 4 основных навыков при изучении любого иностранного языка: на формирование навыков чтения, говорения, письма и аудирования, а также будем использовать приемы мнемотехники и скорочтения для достижения большей продуктивности.
В начале урока будет повторено понятие синуса, косинуса и тангенса острых углов прямоугольного треугольника, а затем будут вычислены их значения для наиболее часто встречающих углов 30, 45 и 60 градусов и составлена таблица этих значений.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Тригонометрия»
Значення тригонометричних функцій синуса, косинуса, тангенса при α=30°
Розглянемо рiвнобiчний трикутник АВС. Хай, кожна з його сторін буде рівна а . Згідно з властивостями рівностороннього трикутника, всі його кути рівні, у тому числі кут ∠В=60°.
Значення синуса, косинуса і тангенса ми можемо обчислити, якщо знайдемо співвідношення відповідних сторін для кута 30 градусів в прямокутному трикутнику. Оскільки значення цих тригонометричних функцій залежить виключно від градусної міри кута, то обчислені нами співвідношення і будуть значеннями синуса 30, косинуса 30 і тангенса 30 градусів.
Спочатку зробимо додаткові побудови. З вершини А на сторону BC проведемо медіану АO.
Медіана АО у рівносторонньому трикутнику одночасно є бісектрисою і висотою.
Тоді тикутник АОВ - прямокутний з кутом ∠ВАО=30°. (Кут В дорівнює 60 градусам ∠ВOA прямій і дорівнює 90 градусам, отже ∠ВАО = 180 - 90 - 60 = 30 градусів)
Для полученного прямоугольного треугольника вычислим значения тригонометрических функций его углов. Сделаем это сначала для угла 30 градусов.
Величина гипотенузы нам известна и равна a. Катет OB равен a/2 , так как AO - медиана треугольника ABC. Найдем катет AO.
По теореме Пифагора:
подставим в полученное выражение значение гипотенузы (мы приняли, что оно равно а)
Теперь мы вычислили все стороны прямоугольного треугольника ABO. Учитывая, что AB = a, OB = a/2, AO = a√3/2, из соотношений сторон прямоугольного треугольника рассчитаем полученные значения. Согласно определению синуса, косинуса и тангенса:
sin 30 = OB / AB (по определению синуса - отношение противолежащего катета к гипотенузе)
cos 30 = AO / AB (по определению косинуса - отношение прилежащего катета к гипотенузе)
tg 30 = OB / AO (по определению тангенса - отношение противолежащего катета к прилежащему)
Так как треугольник ABC - равносторонний, то BO равно AB/2, а значение AO вычислено выше. В результате получаем табличные значения sin 30, cos 30 и tg 30 градусов
Для отриманого прямокутного трикутника обчислимо значення тригонометричних функцій його кутів. Зробимо це спочатку для кута 30 градусів.
Величина гіпотенузи нам відома і рівна а. Катет OB рівний a/2, оскільки АO - медіана трикутника ABC. Знайдемо катет АТ.
По теоремі Піфагора:
пiдставимо в одержане рiвняння значення гiпотенузи (намi прийнято, що воно равно а)
Тепер ми обчислили всі сторони прямокутного трикутника ABO. Враховуючи, що AB = a, OB = a/2, AO = a√3/2, iз спiввiдношень сторiн прямокутного трикутника розрахуємо одержанi значення. Згiдно визначенню сiнуса, косiнуса та тангенса:
sin 30 = OB / AB (за визначенням синуса - відношення катета, що протилежить, до гіпотенузи)
cos 30 = AO / AB (за визначенням косинуса - відношення прилеглого катета до гіпотенузи)
tg 30 = OB / AO (за визначенням тангенса - відношення катета, що протилежить, до прилеглого)
Враховуючи, що трикутник ABC - рiвнобiчний, то BO равно AB/2, а значення AO розраховано вище. В результатi одержуємо табличнi значення sin 30, cos 30 и tg 30 градусiв
Синус, косинус и тангенс угла пи на 3 (π/3)
В задачах кроме градусной меры угла часто встречаются и обозначения угла в радианах. Радианная мера угла выражается через число пи, которое описывает соотношение длины окружности к ее диаметру. Для простоты запоминания правила перевода радиан в градусы и обратно, предлагаю всегда помнить следующее: диаметр окружности охватывает дугу величиной 180 градусов, что составляет пи радиан. Поскольку все величины угла в радианах указываются через число пи, то для перевода в градусную меру достаточно заменить число пи на 180 градусов. Поэтому, примем во внимание, что угол пи на 3 равен 60 градусам. (180 / 3 = 60)- Тангенс π/3 (пи на три) радиан равен корню из трех
- Синус π/3 (пи на три) радиан равен корню из трех на два
- Косинус π/3 (пи на три) радиан равен одной второй (1/2) или 0,5
Як видно з розрахунків, приведених вище, при обчисленні значення конкретної тригонометричної функції важливі не конкретні довжини сторін, а лише їх співвідношення, яке завжди буде однаковим для одних і тих же кутів, незалежно від розмірів трикутника.
Синус, косинус и тангенс угла пи на 6 (π/6)
Исходя из написанного выше принципа перевода радиан в градусы, угол пи на 6 будет равен180 / 6 = 30 градусов.
- Тангенс пи на 6 (π/6) равен корню из трех на три
- Синус пи на 6 (π/6) равен одной второй (1/2) или 0,5
- Косинус пи на 6 (π/6) равен корню из трех на два
Синус, косинус і тангенс кута пі на 3 (π/3)
У завданнях окрім градусної міри кута часто зустрічаються і позначення кута в радіанах. Міра радіану кута виражається через число пі, яке описує співвідношення довжини кола до її діаметру. Для простоти запам'ятовування правила переведення радіан в градуси i назад, пропоную завжди пам'ятати наступне: діаметр кола охоплює дугу величиною 180 градусів, що складає пі радіан. Оскільки всі величини кута в радіанах вказуються через число пі, то для переведення в градусну міру досить замінити число пі на 180 градусів.
Тому, візьмемо до уваги, що кут пі на 3 дорівнює 60 градусам. (180 / 3 = 60)
- Тангенс π/3 (пі на три) радіан дорівнює кореню з трьох
- Синус π/3 (пі на три) радіан дорівнює кореню з трьох на два
- Косинус π/3 (пі на три) радіан рівний однієї другої (1/2) або 0,5
Табличные значения sin 30, cos 30 и tg 30 градусов:
То есть:
Тангенс 30 градусов равен корню из трех на три
Синус 30 градусов равен одной второй или 0,5
Косинус 30 градусов равен корню из трех на два
Так как sin( 90°- 30°) = sin60° , а sin60°=cos30°, то:
Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах
Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах. Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.
Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам.
Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180.
Примеры:
1. Синус пи.
sin π = sin 180 = 0
таким образом, синус пи - это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.
2. Косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
таким образом, косинус пи - это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.
3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
таким образом, тангенс пи - это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.
Читайте также: