Вычет функции sin 1 z
Обновлено: 07.07.2024
Вычисление вычетов в конечных особых точках
Вычет в устранимой особой точке равен $0$.
Если $z_0$ - существенно особая точка, то имеется только один способ вычисления вычета - разложение функции в ряд Лорана и определение коэффициента $c_$.
Для нахождения вычета в полюсе есть несколько приемов.
* Для простого полюса можно воспользоваться формулой: \begin\label \mboxf(z_0)=\lim\limits_ \Big(f(z)(z-z_0)\Big). \end * Для полюса порядка $m$: \begin\label \mboxf(z_0)=\frac1\lim\limits_ \frac>>\Big(f(z)(z-z_0)^m\Big). \end * Для простого полюса в случае функции $ f(z)=\frac$, где
$g(z)$ и $\varphi(z)$ - аналитические функции в окрестности точки $z_0$ и $g(z_0)\neq 0$, а для $\varphi(z)$ точка $z_0$ есть нуль первого порядка (для $f(z)$ же точка $z_0$ есть полюс первого порядка): \begin\label \mboxf(z_0)=\frac. \end
Окончательно, $$ I=2\pi i\left(\frac-\frac6\right) =\pi\left(\frac5-\fraci\right). $$
Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов
Некоторые определенные интегралы от функций вещественного переменного удается преобразовать в интеграл по замкнутому контуру от функции комплексного переменного, что позволяет применить для вычисления этих интегралов основную теорему о вычетах. Часто удается достаточно просто получить ответ и в тех случаях, когда применение других методов анализа оказывается затруднительным.
I. Интеграл вида $I=\int\limits_0^<2\pi>R(\cos,\sin)\,dx,$
где $R(u,v)$ - рациональная функция двух переменных.
Подстановка $z=e^$ даст для $$ \begin \cos\theta=\dfrac12\left(e^+e^\right) =\dfrac12\left(z+\dfrac1z\right), \\ \sin\theta=\dfrac1\left(e^-e^\right) =\dfrac2\left(z-\dfrac1z\right), \\ d\theta=\dfrac \end $$ и превратит вещественный интеграл в комплексный. При изменении $\theta$ от $0$ до $2\pi$ комплексная переменная пробегает замкнутый контур - окружность $|z|=1$ в положительном направлении. Окончательно интеграл примет вид $$ I=\frac1i\oint\limits_<|z|=1>F\left(z+\frac1z,z-\frac1z\right) \frac\,. $$
Пример. Вычислить интеграл $$ \int\limits_0^<2\pi>\frac,\quad a>1. $$
Р е ш е н и е.
Положим $e^=z$. При изменении $x$ от 0 до $2\pi$ переменная $z$ пробегает окружность $|z|=1$ в положительном направлении. Выразим $$ \cos x=\frac12\left(e^+e^\right)=\frac, $$ и $$ dz=ie^dx=izdx,\quad\hbox\quad dx=\frac. $$ Тогда $$ I=\oint\limits_<|z|=1>\frac
Корни знаменателя $z_1=-a+\sqrt$, $z_2=-a-\sqrt$ — простые полюсы, $|z_1|<1$ и $z_1$ лежит внутри круга $|z|=1$: $$ \mboxf(z_1)=\frac1\Big|_=\frac1<2\sqrt>. $$ Исходный интеграл равен $\dfrac2i\cdot\dfrac<2\pi i><2\sqrt> =\dfrac<2\pi><\sqrt>$.
II. Несобственный интеграл от рациональной функции $I=\int\limits_<-\infty>^\infty R(x)\,dx=\int\limits_<-\infty>^\infty \frac\,dx$,
где $P_m(x)$ и $Q_n(x)$ — многочлены степеней $m$ и $n$ соответственно.
Если знаменатель $Q_n(x)$ не имеет нулей на действительной оси, и $n\geqslant m+2$, тогда \begin \int\limits_<-\infty>^\infty R(x)\,dx = 2\pi \mathbf i \sum\limits_^n \mboxR(z_k), \end где вычеты берутся во всех полюсах $z_k$ функции $R(z)$, расположенных в верхней полуплоскости $\mboxz>0$.
Вычислить интеграл $ I=\int\limits_<-\infty>^\infty\frac.$
Р е ш е н и е.
Аналитическое продолжение подынтегральной функции в верхнюю полуплоскость, а именно функция $$ f(z)=\frac1, $$ удовлетворяет всем условиям, относящимся к вычислению интегралов с помощью вычетов. Особыми точками функции в верхней полуплоскости являются точки $$ z_k=e^<\tfrac
III. Несобственные интегралы вида $I=\int\limits_<-\infty>^\infty R(x)\cos<\lambda x>\,dx, \,\, I=\int\limits_<-\infty>^\infty R(x)\sin<\lambda x>\,dx$,
где $R(x)=P_m(x)/Q_n(x)$ - правильная рациональная дробь, не имеющая особых точек на действительной оси. Тогда \begin \int\limits_<-\infty>^\infty R(x)\cos<\lambda x>\,dx = \mbox\left( 2\pi \mathbf i \sum\limits_ \mboxR(z_k)e^<\mathbf i \lambda z_k>\right), \end \begin \int\limits_<-\infty>^\infty R(x)\sin<\lambda x>\,dx = \mbox\left( 2\pi \mathbf i \sum\limits_ \mboxR(z_k)e^<\mathbf i \lambda z_k>\right), \end где вычеты берутся во всех полюсах $z_k$ функции $R(z)$, расположенных в верхней полуплоскости $\mboxz>0$.
Интегралы вычисляются с помощью леммы Жордана:
Лемма Жордана
Пусть функция $f(z)$ аналитична в полуплоскости $\mboxz>0$, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и пусть $M(R)$ есть максимум модуля $f(z)$ на полуокружности $\gamma_=\
Если $M(R)\to0$ при $R\to\infty$, то для любого действительного числа $\lambda>0$, то $$ \int\limits_<\gamma_R>f(z)e^<\mathbf i \lambda z>\,dz\to0\quad\hbox\quad R\to\infty, $$
Для $\lambda<0$ в условиях леммы нужно заменить верхнюю полуплоскость на нижнюю и соответственно верхнюю полуокружность на нижнюю.
Р е ш е н и е.
Чтобы иметь возможность воспользоваться леммой Жордана, заметим, что в силу формулы Эйлера $$ I=\mboxI_1 =\mbox\int\limits_<-\infty>^\infty \frac
Аналитическое продолжение подынтегральной функции интеграла $I_1$ - функция $\dfrac
Логарифмическим вычетом функции $f(z)$ в точке $z=a$ называется вычет ее логарифмической производной $ \frac$ в этой точке, т.е. значение $$ \mbox\frac=\frac<2\pi \mathbf i>\oint\limits_ \fracdz, $$ где в качестве контура $L$ интегрирования можно взять любую окружность с центром в точке $z=a$, целиком лежащую в указанной проколотой окрестности этой точки.
Если $f(z)$ является аналитической функцией на замкнутом контуре $L$ и не имеет нулей на этом контуре, то значение $$ \mbox \frac=\frac<2\pi \mathbf i>\oint\limits_ \fracdz $$ называют логарифмическим вычетом функции $f(z)$ относительно контура $L$.
Теорема о логарифмическом вычете
Пусть непостоянная функция $f(z)$ аналитична всюду в односвязной области $D$ и на ее границе - кусочно-гладком контуре $L$, кроме, возможно, некоторого конечного числа полюсов. Пусть также функция имеет конечное число нулей, причем на контуре $L$ нет ни нулей, ни полюсов функции. Тогда $$ \mbox \frac=N-P, $$ где $N$ и $P$ - общее количество нулей и полюсов функции $f(z)$ в $D$, причем каждый нуль следует считать сколько раз, какова его кратность, а каждый полюс - каков его порядок.
Логарифмический вычет многочлена $P_n(z)$ степени $n$ относительно контура $L$, на котором нет нулей $P_n(z)$, равен числу нулей многочлена (с учетом их кратности) внутри контура.
Пусть непостоянная функция $f(z)$ аналитична всюду в односвязной области $D$ и на ее границе - кусочно-гладком контуре $L$, кроме, возможно, некоторого конечного числа полюсов. Пусть также функция имеет конечное число нулей, причем на контуре $L$ нет ни нулей, ни полюсов функции. Тогда приращение аргумента функции $f(z)$ при обходе в положительном направлении контура $L$ равно произведению $2\pi$ на разность числа нулей и полюсов функции $f(z)$, расположенных в области $D$, причем каждый нуль следует считать сколько раз, какова его кратность, а каждый полюс - каков его порядок. $$ \Delta_L\arg f(z)=2\pi(N-P), $$ $$ N=q_1+q_2+\ldots+q_m, \quad P=p_1+p_2+\ldots+p_k, $$ $q_i$ - кратность нуля $a_i$, $i=1,\ldots,m$, $p_j$ - кратность полюса $b_j$, $j=1,\ldots,k$.
Пусть функции $f(z)$ и $\varphi(z)$ являются аналитическими в замкнутой области $D$, причем на границе $C$ этой области имеет место неравенство: $|f(z)|_>|\varphi(z)|_$. Тогда полное число нулей (с учетом их кратности) в $D$ функции $F(z)=f(z)+\varphi(z)$ равно полному числу нулей (с учетом их кратности) функции $f(z)$.
Пусть $f(z)=-4z^5$, $\varphi(z)=z^8+z^2-1$. Граница $C$ заданной области - единичный круг $|z|=1$.
Выполнены все условия теоремы Руше. Функция $f(z)$ имеет корень $z=0$ кратности $5$, лежащий в $|z|<1$. Значит, $F(z)=f(z)+\varphi(z)$ имеет пять нулей в единичном круге.
Найти число корней уравнения $z^4-8z+10=0$ в кольце 1 tfkp/chapter6.txt · Последние изменения: 2021/05/04 15:25 — nvr
Вычет функции относительно изолированной особой точки. Основная теорема о вычетах
Вычетом функции $f(z)$ относительно изолированной особой точки $z_0$ называется коэффициент $c_$ при $(z-z_0)^$ в разложении в ряд Лорана функции $f(z)$ в окрестности $z_0$. $$ \mboxf(z_0) = c_. $$
Вычетом функции $f(z)$ относительно изолированной особой точки $z_0$ называется интеграл $$ \mboxf(z_0) =\frac1<2\pi i>\oint\limits_L f(z)\,dz, $$ где $L$ - произвольный контур в кольце $0<|z-z_0|<R$, ориентированный против часовой стрелки ($L$ должен окружать точку $z_0$).
Основная теорема о вычетах (Коши)
Пусть функция $f(z)$ является аналитической всюду в замкнутой области $\overline D$, за исключением конечного числа изолированных особых точек $z_1,z_2,\dots,z_N$, лежащих внутри области $D$. Тогда $$ \oint\limits_L f(z)\,dz=2\pi i\sum\limits_^N \mboxf(z_k), $$ где $L$ - полная граница области $D$, проходимая в положительном направлении.
О бесконечно удаленной точке $z=\infty$
Выберем любое $r \geqslant0$. Разложим функцию $f(z)$ по степеням $z$ во внешности круга $|z|> r$, которое иногда называют окрестностью бесконечно удаленной точки, $$ f(z)=\sum\limits_<-\infty>^\infty c_kz^k=F_1(z)+F_2(z) =\sum\limits_^\infty c_kz^k +\sum\limits_^\infty\frac>. $$ В этом случае $F_1(z)$ называют главной частью, а $F_2(z)$ - правильной частью.
В зависимости от поведения функции $f(z)$ в окрестности $z=\infty$ введена следующая классификация:
- Особенность в точке $z=\infty$ устранимая, если все $c_k=0$, $k=1,2,\ldots$, т.е. если $f(z)=F_2(z)$ для $|z|>r$. В этом случае $$ \lim\limits_
Можно считать, что точка $z=\infty$ находится внутри контура $L^-$. Если двигаться по контуру $L^-$ по часовой стрелке, то точка $z=\infty$ остается слева.
Видим, что в случае, когда $z=\infty$ - устранимая особая точка, то вычет не обязательно равен нулю!
- Точка $z=\infty$ есть полюс порядка $m$, если $f(z)=\sum\limits_^m c_k z^k+F_2(z)$ и $c_m\ne0$. В этом случае, очевидно, $$ \lim\limits_
$$ \oint\limits_f(z)\,dz=\sum\limits_^\infty c_ \oint\limits_\frac+\sum\limits_^m c_k \oint\limits_z^k\,dz= $$ $$ =-c_\int\limits_L\fracz=-2\pi\mathbf i c_, $$ потому, что $\displaystyle\oint\limits_z^k\,dz=-\oint\limits_L z^k\,dz=0$, когда $k\ne-1$;
- Точка $z=\infty$ является существенно особой точкой, если $f(z)=\sum\limits_^\infty c_kz^k+F_2(z)$ и имеется бесконечное число чисел $c_k$, не равных нулю. В данном случае функция из-за первого слагаемого не имеет предела при $z\to\infty$. $$ \oint\limits_f(z)\,dz=\sum\limits_
Вычетом функции $f(z)$ в бесконечно удаленной точке называется $$ \mboxf(\infty)=\frac1<2\pi \mathbf i >\oint\limits_f(z)\,dz, $$ где $L^-$ - произвольный замкнутый контур, ориентированный по часовой стрелке, принадлежащий множеству $|z|>r$ (где функция $f(z)$ аналитична).
Кроме того, если $f(z)=\sum\limits_
Теорема о сумме вычетов Пусть функция $f(z)$ аналитична на всей плоскости $z$ за исключением конечного числа изолированных особых точек $z_1,z_2,\dots,z_N$. Тогда сумма всех вычетов этой функции, включая вычет в бесконечно удаленной точке, равна нулю: $$ \sum\limits_^N\mboxf(z_k)+\mboxf(\infty)=0. $$
Р е ш е н и е.
Все особые точки $z_k=\sqrt[4]$, $\sqrt[3]$ лежат в круге $|z|=2$. Вычисление вычетов в этих точках довольно затруднительно, поэтому воспользуемся формулой $$ I=2\pi i\sum\limits_^\infty \mboxf(z_k)=-2\pi i\mboxf(\infty). $$ Представим функцию в виде $$ \frac><4z^6\left(1+\cfrac1\right)^2z^ \left(1-\cfrac1\right)^3>= $$ $$ =\frac4\left(1-\frac1+\frac1-\dots\right)^2 \left(1+\frac1+\frac1\right)^3=\frac4-\frac1 +\dots\ . $$
Тогда $\mboxf(\infty)=\dfrac14$ и интеграл равен $-2\pi i\mboxf(\infty)=-\dfrac<\pi i>2$.
О т в е т: $-\dfrac<\pi i>2$.
Читайте также: