Sin x 0 решить неравенство

Обновлено: 06.07.2024

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> --> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу. Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек.

Уравнение sin(х) = а

Из определения синуса следует, что $ -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 $. Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.

Уравнение sin х = а, где $ |a| \leqslant 1 $, на отрезке $ \left[ -\frac<\pi>; \; \frac<\pi> \right] $ имеет только один корень. Если $ a \geqslant 0 $, то корень заключён в промежутке $ \left[ 0; \; \frac<\pi> \right] $; если а

Решение тригонометрических неравенств

ПРИМЕР 1. Решим неравенство $ \sin x > \frac $.
Так как $ -1 \frac $.
Так как $ -1 1 $.
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(\frac<\pi> + \pi k; \;\; \frac<\pi> + \pi k\right), \; k \in \mathbb $$

ПРИМЕР 6. Решим неравенство $ tg \;x \frac> $.
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left( \pi k; \;\; \frac<\pi> + \pi k \right), \; k \in \mathbb $$

Уравнение cos(х) = а

Из определения косинуса следует, что $ -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 $. Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.

Уравнение cos x = а, где $ |a| \leqslant 1 $, имеет на отрезке $ 0 \leqslant x \leqslant \pi $ только один корень. Если $ a \geqslant 0 $, то корень заключён в промежутке $ \left[ 0; \; \frac<\pi> \right] $; если a

Неравенства вида $ tg \;x > a $ и \( tg \;x

Пусть дано простейшее неравенство $ tg \;x > a $.
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом $a \in \mathbb $ решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(arctg \;a + \pi k; \;\; \frac<\pi> + \pi k \right), \; k \in \mathbb $$

Пусть дано простейшее неравенство \( tg \;x

Уравнение tg(х) = а

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.

Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале $ \left( -\frac<\pi>; \; \frac<\pi> \right) $ только один корень. Если $ |a| \geqslant 0 $, то корень заключён в промежутке $ \left[ 0; \; \frac<\pi> \right) $; если а

Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c

Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) - 2 = 0

Используя формулы $ \sin(x) = 2\sin\frac \cos\frac, \; \cos(x) = \cos^2 \frac -\sin^2 \frac $ и записывая правую часть уравпения в виде $ 2 = 2 \cdot 1 = 2 \left( \sin^2 \frac + \cos^2 \frac \right) $ получаем

$ 4\sin\frac \cos\frac + \cos^2 \frac - \sin^2 \frac = 2\sin^2 \frac + 2\cos^2 \frac $

Поделив это уравнение на $ \cos^2 \frac $ получим равносильное уравнение $ 3 \text^2\frac - 4 \text\frac +1 = 0 $
Обозначая $ \text\frac = y $ получаем уравнение 3y 2 - 4y + 1 = 0, откуда y₁=1, y₁= 1/3

1) $ \text\frac = 1 \Rightarrow \frac = \frac<\pi> +\pi n \Rightarrow x = \frac<\pi> +2\pi n, \; n \in \mathbb $
2) $ \text\frac = \frac \Rightarrow \frac = \text\frac +\pi n \Rightarrow x = 2 \text \frac +2\pi n, \; n \in \mathbb $
Ответ $ x = \frac<\pi> +2\pi n, \;\; x = 2 \text \frac +2\pi n, \; n \in \mathbb $

В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях $ a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 $ можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на $ \sqrt $:

Введём вспомогательный аргумент $ \varphi $, такой, что Таким образом, уравнение можно записать в виде
$ \sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi = \frac> $
откуда Изложенный метод преобразования уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c к простейшему тригонометрическому уравнению называется методом введения вспомогательного угла.

Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5

Здесь a = 4, b = 3, $ \sqrt = 5 $. Поделим обе части уравнения на 5:

$ \frac<4>\sin(x) + \frac\cos(x) = 1 $
Введём вспомогательный аргумент $ \varphi $, такой, что $ \cos \varphi = \frac<4>, \; \sin \varphi = \frac $ Исходное уравнение можно записать в виде
$ \sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi = 1, \;\; \sin(x+\varphi) = 1 $
откуда

Неравенства вида $ \cos x > a $ и \( \cos x

Пусть дано простейшее неравенство $ \cos x > a $.
1) При $-1 1$ решением неравенства является любое действительное число: $ x \in \mathbb $
3) При $a \leqslant -1$ неравенство не имеет решений.
4) При $a = 1$ решением неравенства является любое действительное число, отличное от $ 2\pi k, \; k \in \mathbb $

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Решить уравнение 2 cos 2 (х) - 5 sin(х) + 1 = 0

Заменяя cos 2 (х) на 1 - sin 2 (х), получаем
2 (1 - sin 2 (х)) - 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin 2 (х) + 5 sin(х) - 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y - 3 = 0, откуда y₁ = -3, y₂ = 0,5
1) sin(х) = - 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; $ x = (-1)^n \text(0,5) + \pi n = (-1)^n \frac<\pi> + \pi n, \; n \in \mathbb $
Ответ $ x = (-1)^n \frac<\pi> + \pi n, \; n \in \mathbb $

Решить уравнение 2 cos 2 (6х) + 8 sin(3х) cos(3x) - 4 = 0

Используя формулы
sin 2 (6x) + cos 2 (6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 - sin 2 (6х)) + 4 sin(6х) - 4 = 0 => 3 sin 2 (6х) - 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y 2 - 4y +1 =0, откуда y₁ = 1, y₂ = 1/3

1) $ sin(6x) = 1 \Rightarrow 6x = \frac<\pi> +2\pi n \Rightarrow x = \frac<\pi> +\frac<\pi n>, \; n \in \mathbb $
2) $ sin(6x) = \frac<1> \Rightarrow 6x = (-1)^n \text \frac<1> +\pi n \Rightarrow $
$ \Rightarrow x = \frac \text \frac<1> +\frac<\pi n>, \; n \in \mathbb $
Ответ $ x = \frac<\pi> +\frac<\pi n>, \;\; x = \frac \text \frac +\frac<\pi n>, \; n \in \mathbb $

Решение тригонометрических уравнений

Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

Неравенства вида $ ctg \;x > a $ и \( ctg \;x

Пусть дано простейшее неравенство $ ctg \;x > a $.
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом $a \in \mathbb $ решение неравенства будет таким:
$$ x \in ( \pi k; \;\; arcctg \;a + \pi k ), \; k \in \mathbb $$

Пусть дано простейшее неравенство \( ctg \;x

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

Решить уравнение sin(2х) - sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) - sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x - 1) = 0

2) $ 2 \cos(x) -1 =0, \; \cos(x) = \frac12, \; x = \pm \frac<\pi> +2\pi n, \; n \in \mathbb $

Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х - х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0

Заметим, что числа $ \pi n $ содержатся среди чисел вида $ x = \frac<\pi n>, \; n \in \mathbb $
Следовательно, первая серия корней содержится во второй.

Решить уравнение 6 sin 2 (x) + 2 sin 2 (2x) = 5
Выразим sin 2 (x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos 2 (x) - sin 2 (x), то
cos(2x) = 1 - sin 2 (x) - sin 2 (x), cos(2x) = 1 - 2 sin 2 (x), откуда
sin 2 (x) = 1/2 (1 - cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 - cos(2x)) + 2 (1 - cos 2 (2х)) = 5
2 cos 2 (2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0

Получим:
$$\sin <\left (x \right )>= 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname<\left (0 \right )>$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname <\left (0 \right )>+ \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n$$
$$x = 2 \pi n + \pi$$
, где n - любое целое число
$$x_ = 2 \pi n$$
$$x_ = 2 \pi n + \pi$$
$$x_ = 2 \pi n$$
$$x_ = 2 \pi n + \pi$$
Данные корни
$$x_ = 2 \pi n$$
$$x_ = 2 \pi n + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_ \leq x_$$
Возьмём например точку
$$x_ = x_ - \frac$$
=
$$2 \pi n + - \frac$$
=
$$2 \pi n - \frac$$
подставляем в выражение
$$\sin <\left (x \right )>\leq 0$$
$$\sin<\left (2 \pi n - \frac \right )> \leq 0$$

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq 2 \pi n$$

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq 2 \pi n$$
$$x \geq 2 \pi n + \pi$$

Получим:
$$\sin <\left (x \right )>= 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname<\left (0 \right )>$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname <\left (0 \right )>+ \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n$$
$$x = 2 \pi n + \pi$$
, где n - любое целое число
$$x_ = 2 \pi n$$
$$x_ = 2 \pi n + \pi$$
$$x_ = 2 \pi n$$
$$x_ = 2 \pi n + \pi$$
Данные корни
$$x_ = 2 \pi n$$
$$x_ = 2 \pi n + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_ \leq x_$$
Возьмём например точку
$$x_ = x_ - \frac$$
=
$$2 \pi n + - \frac$$
=
$$2 \pi n - \frac$$
подставляем в выражение
$$\sin <\left (x \right )>\geq 0$$
$$\sin<\left (2 \pi n - \frac \right )> \geq 0$$

Тогда
$$x \leq 2 \pi n$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq 2 \pi n \wedge x \leq 2 \pi n + \pi$$

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое неравенство. Программа для решения тригонометрического неравенства не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Тригонометрические уравнения

Неравенства вида $ \sin x > a $ и \( \sin x

Пусть дано простейшее неравенство $ \sin x > a $.
1) При $-1 1 $ решением неравенства является любое действительное число: $ x \in \mathbb $
3) При $а = 1 $ решением неравенства является любое действительное число, отличное от $ \frac<\pi> + 2\pi k, \; k \in \mathbb $
4) При $а \leqslant -1 $ неравенство не имеет решений.

Тригонометрические неравенства

Читайте также: