Решите уравнение cos x sin x корень 2 sin 2x

Обновлено: 07.07.2024

а) Решите уравнение

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Преобразуем уравнение:

б) Отберём с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Выделим полный квадрат:

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим

Могу ли я записать пункт а) x = +- П/4 + 2ПК ; +- 3П/4 + 2ПК ?

А еще можно так: , где

Здравствуйте ! Почему такой ответ у вас? У меня получилось х= +-пи/4 + Пn

Если я запишу такой ответ , мне уже не посчитают его правильным ?? Ведь у проверяющего будет один ответ , а не несколько вариантов ответа.

Наше уравнение распадается на 2
1) cos x + sin x = -√2*sin 2x
√2*sin(π/4 + x) = -√2*sin 2x = √2*sin(-2x)
Если синусы равны, то аргументы равны с точностью до периода
а) π/4 + x = -2x + 2π*k
3x = π/4 + 2π*k
x1 = π/12 + 2π/3*k
б) π - π/4 - x = -2x + 2π*k
x2 = -3π/4 + 2π*k

2) cos x + sin x = √2*sin 2x
√2*sin(π/4 + x) = √2*sin 2x
Если синусы равны, то аргументы равны с точностью до периода
а) π/4 + x = 2x + 2π*k
x3 = -π/4 + 2π*k
б) π - π/4 - x = 2x + 2π*k
3x = 3π/4 + 2π*k
x4 = π/4 + 2π/3*k

То есть первая и третья четверти,где синус и косинус одного знака.

Очевидно,что модуль их суммы будет больше единицы всегда(неравенство треугольника,где в качестве третьей стороны выступает радиус единичной окружности)

Рассмотрим выражение под модулем:

Попробуем найти максимум такой функции

Очевидно,что левая часть принимает наибольшее значение,когда таковое принимает правая.

Правая часть принимает наибольшее значение при

Разделим обе части уравнения на

Очевидно,что синус в первой четверти(для третьей аналогично,так как модуль) больше тогда,когда больше аргумент.

Рассмотрим аргументы обоих синусов на полуинтервале:

На этом промежутке происходит переход во вторую четверть,где с точностью до наоборот синус большего аргумента имеет меньшее значение.

а) Решите уравнение:

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Запишем уравнение в виде:

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа

Замечание. Отбор корней может быть обоснован и любым другим способом: с помощью графика, решения двойных неравенств и т.п.

Здесь допущена ошибка в решении. Под буквой а). Там где соs квадрат х выносят за скобку, в скобке будет знак +. От этого изменится ответ и корни

Читайте также: