Решение уравнения sin x a
Обновлено: 07.07.2024
На этом уроке мы продолжим изучение арксинуса и решение уравнений вида sin t = a. В начале урока решим уравнение с нетабличным значением и рассмотрим решение на числовой окружности и на графике. Далее выведем общую формулу ответа для уравнения sin t = a, рассмотрим различные формы записи ответа и рассмотрим некоторые важные частные случаи решения. В конце урока решим несколько более сложных уравнений.
Как называется уравнение, которое содержит переменную под знаком тригонометрических функций?
Вопрос 2
Дополните:
Синусом угла α называется . точки Рα, полученной поворотом точки Р (1;0) вокруг начала координат на угол α.
Вопрос 3
Дополните:
Арксинусом числа а, модуль которого не больше единицы, называется.
-
такое число х из промежутка [0;π], синус которого равен а
Вопрос 4
Согласны ли вы, что:
Для любого а из промежутка [-1;1] справедлива формула:
arсsin (-а) = -arcsin а.
Уравнение sin x = a имеет корни только при -1 ≤ а ≤ 1.
Для любого а из промежутка [-1;1] справедлива формула:
arсsin (-а) = π - arcsin а.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Уравнение sinx=a"
Напомним, что уравнение, которое содержит переменную под знаком тригонометрических функций, называется тригонометрическим уравнением. Уравнения вида , , и , где – переменная, а число , называются простейшими тригонометрическими уравнениями. На этом уроке мы с вами подробно рассмотрим решение уравнений вида .
Вы уже знаете, что синусом угла называется ордината точки , полученной поворотом точки вокруг начала координат на угол . При этом не забудем отметить, что так как координаты и точек единичной окружности удовлетворяют неравенствам и , то для справедливо неравенство . Из этого следует, что уравнение имеет корни только при .
Так как же решают такие уравнения? Давайте рассмотрим два уравнения: и .
Чтобы найти х в первом уравнении, нам нужно ответить на вопрос, чему равен синус точки . Для этого нам достаточно вспомнить таблицу значений синуса.
Тогда . Давайте покажем это на единичной окружности. Отметим точку . У этой точки, как и у любой другой, есть свои координаты. Если мы опустим перпендикуляр из точки на ось ординат, то попадём в .
А теперь вернёмся ко второму уравнению . Чтобы найти х в этом уравнении, нам нужно ответить на вопрос, синус каких точек равен .
Давайте ненадолго отвлечёмся от тригонометрии. Начертим координатную плоскость. А теперь найдём все те точки, у которых ордината равна . Несложно догадаться, что таких точек будет бесконечное множество и все они будут лежать на горизонтальной прямой, проходящей через точки с ординатой, равной .
А теперь вернёмся к тригонометрии. Нас будут интересовать все точки, которые лежат на единичной окружности и пересекаются горизонтальной прямой, проходящей через точки, имеющие ординату, равную . Заметим, что наша прямая пересекает единичную окружность в двух точках – и . Исходя из таблицы значений синуса, точка получается из начальной точки поворотом на угол , а точка – поворотом на угол . Тогда решением нашего уравнения будут два корня и . Но ведь в эти точки мы можем попасть не по одному разу. Если мы сделаем полный оборот по единичной окружности, то снова попадём в эти точки. Сделав ещё полный оборот, снова попадём в эти точки и так далее. Тогда окончательным решением нашего уравнения будет серия корней:
Второй корень мы можем переписать как . Как правило, эти два корня совмещают и записывают как .
Заметим, что если , то из последней формулы получаем: , а если , то из последней формулы получаем: .
Вообще, при решении уравнений вида возможны четыре случая.
Первый случай: . Раскрывая модуль, имеем . В этом случае на единичной окружности будут располагаться две точки – и , ординаты которых равны а. Эти точки получаются путём поворота начальной точки на угол и соответственно. Тогда решения уравнения можно записать в виде: , и . Заметим, что эти точки симметричны относительно оси ординат. Следовательно, . Чаще всего эти серии решений объединяют в одну формулу: .
Например, решим следующие уравнения и . Ординату, равную , имеют две точки единичной окружности. Так как , то угол , а тогда угол . Следовательно, все корни уравнения можно найти по формуле . При чётном n получим первую серию решений, при нечётном – вторую.
Перейдём ко второму уравнению . Ординату, равную , имеют две точки единичной окружности. Так как , то угол , а тогда угол . Следовательно, все решения уравнения можно найти по формуле .
Обратите внимание, каждое из уравнений и имеет бесконечное множество корней. Однако на отрезке каждое из этих уравнений имеет только один корень. Так, , – это корень уравнения , а , – это корень уравнения . Число называют арксинусом числа . Записывают так: . Число называют арксинусом числа . Записывают так: .
Кстати, «арксинус» в переводе с латинского означает «дуга» и «синус». Это обратная функция.
Вообще, уравнение , где , на отрезке имеет только один корень. Если , то этот корень заключён в промежутке ;
если же , то корень располагается в промежутке .
Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают так .
Запомните! Арксинусом числа а, , называется такое число , синус которого равен а.
, если и
Например, , так как , . , так как , .
Возвращаясь к нашему уравнению , где , можно утверждать, что все корни уравнения можно найти по формуле: .
Запомните! Для любого справедлива формула . Эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения арксинусов положительных чисел.
Например, .
Второй случай: . Раскрывая модуль, имеем и . Поскольку для справедливо неравенство , то понятно, что в этом случае уравнение не будет иметь корней.
Например, уравнения и не имеют корней.
Третий случай (частный): . В этом случае есть две точки тригонометрической окружности, которые имеют ординату, равную 0. Точка представляет все числа вида , а точка – все числа вида . Заметим, что две записанные серии решений уравнения можно выразить одной формулой: . Так как при получится первая серия решений , а при – .
И последний, четвёртый случай (тоже частный): . Раскрывая модуль, имеем , и . В этом случае горизонтальные прямые, проходящие через точки, имеющие ординаты, равные –1 и 1, будут касаться единичной окружности в точках с координатами (0;1) и (0;–1). Эти точки получаются путём поворота начальной точки на угол и . Тогда уравнение имеет серию решений: . А решением уравнения будет следующее: .
А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.
Задание. Решите уравнение .
Решение. Для начала преобразуем уравнение. Единицу перенесём в правую часть, затем разделим обе части равенства на –2. Получим . По формуле нахождения корней уравнения , имеем . . Отсюда . Перенесём 4 в правую часть равенства. Затем разделим обе части равенства на 3. Отсюда х равен: .
Арксинусом числа m называется такое число α, что: и .
Заметим, что такой промежуток для α берется потому, что синус на отрезке принимает все свои значения ровно по одному разу.
Из определения следует, что для
С другой стороны, если и , то
Таким образом, получаем два простейших тождества для арксинуса.
Основная литература:
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
После отыскания этих точек нужно найти все такие числа α, которые соответствуют этим точкам. Множество таких чисел и будет решением уравнения .
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Рассмотрим пример на вычисление арксинуса.
Вычислить
Так как и то
Вычислить .
На рисунке показано, как связаны друг с другом числа m и
Запишем теперь с помощью арксинуса решение уравнения
Одним из решений уравнения является число . Так как , то число также является решением данного уравнения.
Точка соответствует всем числам вида
Точка соответствует всем числам вида
Таким образом, решением уравнения sinα=m являются все числа вида
Решим уравнение
Так как , то по формуле (*) получаем:
Решите уравнение
Рассмотрим решение более сложных уравнений с синусом.
, поэтому
Отсюда , или
Ответ: .
, поэтому .
Мы получили два квадратных уравнения с параметром k.
Запишем их решения.
Для того чтобы число х было действительным, дискриминант должен быть неотрицательным. То есть:
(1) и (2)
Неравенство (1) выполняется при , так как k – целое, то .
Неравенство (2) выполняется при , так как k – целое, то .
Таким образом, получаем, что при целых значениях исходное уравнение имеет две серии решений:
При уравнение имеет два решения:
Ответ: а) при ,
б) при ,
Так как синусы равны, то их аргументы связаны соотношением:
Первое уравнение имеет решение при или при .
Второе уравнение имеет решение при или при .
а) при ,
б) , при при ,
в) нет решений при .
Уравнение равносильно совокупности уравнений:
или:
Решение второго уравнения: .
Ответ:
Имеем две серии решений:
.
Изобразим эти множества на тригонометрической окружности:
Можно записать эти две серии в виде одного равенства:
.
Ответ: .
Заметим, что для краткости решение тригонометрического уравнения sin x=m можно записать в виде:
Рассмотрим решение уравнения .
Прямая пересекает тригонометрическую окружность в двух точках:
Точка M(π/3) соответствует всем числа вида .
Точка N(2π/3) соответствует всем числа вида .
.
Прямая y=1 имеет с тригонометрической окружностью одну общую точку: .
Этой точке соответствуют все числа вида . Поэтому решение уравнения имеет вид .
Ответ: .
Рассмотрим решение уравнения .
Прямая y=0 имеет с тригонометрической окружностью две общие точки: С() и К(π).
Поэтому решение уравнения можно записать так: .
Решите уравнение .
Ответ: .
2. Мы можем записать решение уравнение для любых табличных значений m. В тех случаях, когда мы не знаем значения аргумента, соответствующее значению m, чтобы уметь решать уравнение для произвольных значений m, введем понятие арксинуса.
Читайте также: