Решение линейных уравнений с 2 переменными и его график
Обновлено: 08.07.2024
Пусть требуется найти два числа» разность которых равна 5. Если первое число обозначить буквой х, а второе буквой у, то соотношение между ними можно записать в виде равенства
можно подставить в него вместо х произвольное число, например 3. Получим уравнение с одной переменной у: . Решив его, найдем, что у = —0,5. Пара (3; —0,5) — решение уравнения
Разделив обе части этого уравнения на 2, получим:
Уравнение (3) равносильно уравнению (2), а уравнение (2) — уравнению (1). Поэтому уравнение (3) равносильно уравнению(1).
По формуле можно найти сколько угодно решений уравнения ;
если x = —0,4, то
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Каждое из уравнений с двумя переменными , задается линейная функция, графиком которой служит прямая. Та же самая прямая является и графиком уравнения . При с = 0 любая пара чисел является решением этого уравнения, а его графиком — вся координатная плоскость. При .
В линейном уравнении коэффициенты при переменных отличны от нуля. Поэтому его графиком является прямая. Прямая определяется двумя точками. Найдем координаты двух каких-либо точек прямой:
Отметим точки (0; —3) и (2; —1,5) и проведем через них прямую (рис. 60). Эта прямая — график уравнения
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.
Выясним, что представляет собой график уравнения :
Выразим переменную у через х :
Этой формулой задаётся линейная функция, графиком которой служит прямая.
равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения
С помощью таких же рассуждений можно показать, что графиком любого линейного уравнения с переменными х и у , в котором коэффициент при у не равен нулю, является прямая. Если в линейном уравнении коэффициент при у равен нулю, а коэффициент при х отличен от нуля, то графиком такого уравнения также является прямая.
Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.
В этом уравнении коэффициенты при переменных отличны от нуля. Поэтому его графиком является прямая. Прямая определяется двумя точками. Найдём координаты двух каких-либо точек прямой :
Рассмотрим теперь случай, когда в линейном уравнении оба коэффициента при переменных равны нулю.
Уравнение a x + b y = c , в котором оба коэффициента при переменных равны нулю, имеет вид 0 x + 0y = c ,
Комментариев нет:
Уроки математики и физики (RU + UA)
- I. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДРОБИ (RU + UA + EN)
- II. ПРОПОРЦИИ ПРОЦЕНТЫ МАСШТАБ (RU + UA)
- III. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА (RU + UA)
- IV. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ (RU + UA)
- V. КОРНИ (RU + UA)
- VI. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ (RU + UA + EN)
- VII. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ (RU + UA)
- VIII. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
- IX. НЕРАВЕНСТВА (RU + UA)
- X. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (RU + UA)
- XI. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА (RU + UA)
- XII. ПЛАНИМЕТРИЯ (1) (RU + UA)
- XIII. ПЛАНИМЕТРИЯ (площади фигур) (RU + UA)
- XIV. СТЕРЕОМЕТРИЯ (1) (RU + UA)
- XV. СТЕРЕОМЕТРИЯ (2) (RU + UA)
- XVI. КОМБИНАТОРИКА (RU + UA)
- XVII. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ (RU + UA)
- XVIII. ВЕКТОРЫ (RU + UA)
- XIX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ (RU + UA)
- XX. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ (RU + UA)
- КИНЕМАТИКА
- ДИНАМИКА
- WATCH YOUR MONEY!
О сайте
На сайте размещена минимальная информация по математике, позволяющая сдать тесты любому ученику с положительной отметкой, если конечно он решит все предложенные уроки.
Также данный сайт поможет ученику, начинающему изучать математику и бабушкам, которые захотят помочь своим внукам в изучении математики.
Каждый урок содержит краткие сведения по теоретической части и три практических задания по 12 примеров или задач в каждом задании. При желании Вы можете написать ответы заданий для проверки в комментариях. Сайт находится в постоянной доработке. Возможны методические и математические ошибки.
Графическое решение системы линейных уравнений с двумя переменными сводится к отысканию координат общих точек двух прямых линий. Как известно, две прямые на плоскости могут быть параллельными или пересекающимися. В случае параллельности прямые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Если угловые коэффициенты прямых, служащих графиками уравнений системы, различны, то прямые пересекаются. Координаты точки их пересечения являются решением этой системы, и притом единственным.
Системе двух уравнений первой степени с двумя неизвестными в декартовой системе координат соответствует пара прямых. Поскольку две прямые на плоскости могут пересекаться, совпадать или быть параллельными, то и соответствующая им система уравнений может иметь одно решение, бесконечное количество решений или не иметь ни одного. Решить систему уравнений с двумя неизвестными можно графически.
Координаты любой точки прямой АВ являются решением уравнения
а координаты любой точки прямой С D являются решением уравнения
Примененный нами способ решения системы уравнений называется графическим . Заметим, что графический способ обычно позволяет находить решения лишь приближённо.
Рассмотрим системы двух линейных уравнений с двумя переменными, в каждом из которых хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля. Выясним, всегда ли такая система имеет решения и если имеет, то сколько. Графиками уравнений системы являются прямые. Если эти прямые пересекаются, то система имеет единственное решение; если прямые параллельны, то система не имеет решений; если прямые совпадают, то решений бесконечно много.
Выясним, сколько решений имеет система уравнений :
Рассмотрим, каково взаимное расположение графиков уравнений данной системы. Для этого выразим из каждого уравнения данной системы. Для этого выразим из каждого уравнения у через х , получим:
задаются линейные функции. Угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками этих функций, различны. Значит, эти прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
Рассмотрим, сколько решений имеет система уравнений :
Из каждого уравнения системы выразим у через х :
параллельны, так как их угловые коэффициенты одинаковы, а точки пересечения с осью у различны. Отсюда следует, что данная система уравнений не имеет решений.
Выясним, сколько решений имеет система уравнений :
Из каждого уравнения системы выразим у через х :
является решением системы. Система имеет бесконечно много решений.
Для этого построим в одной координатной плоскости графики обоих её уравнений :
Координаты каждой точки прямой, которая является графиком уравнения
Координаты каждой точки прямой, которая является графиком уравнения
Имеет ли каждая система двух уравнений только одно решение ? Нет.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "График линейного уравнения с двумя переменными"
· ввести понятие «график линейного уравнения с двумя переменными»;
· рассмотреть поведение графика в зависимости от значений коэффициентов перед переменными.
На прошлом уроке мы с вами познакомились с линейным уравнением с двумя переменным. Давайте, вспомним определение.
И сегодня на уроке мы будем вести речь о графике такого уравнения.
Сформулируем определение:
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.
Обратите внимание, что полученная формула имеет вид линейной функции, графиком которой является прямая.
Так как прямая определяется двумя точками, то для построения графика нам достаточно указать две точки. Так:
Таким образом, получили две точки с координатами:
Теперь на координатной плоскости отметим эти точки и проведём через них линию.
Эта прямая является графиком исходного уравнения.
Все точки, принадлежащие графику, – это пары чисел, которые являются решениями нашего уравнения.
Теперь рассмотрим уравнение, в котором коэффициент при одной из переменных равен нулю.
А это постоянная функция. С предыдущих уроков нам известно, что график такой функции – это прямая, которая проходит через точку с координатами (0; 2) и параллельна оси Ox.
Все точки, принадлежащие этой прямой, – это пары чисел, которые являются решениями данного уравнения. И таких решений бесконечно много.
Определение.
Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.
А теперь давайте рассмотрим случай, когда в линейном уравнении оба коэффициента при переменных равны нулю.
Давайте, рассмотрим примеры построения графиков линейных уравнений.
Итак, сегодня на уроке мы выяснили, что же представляет собой график линейного уравнения с двумя переменными и научились строить такие графики.
Читайте также: