Разложить в ряд фурье функцию sin x 2

Обновлено: 05.07.2024

Разложение некоторой функции f ( x ) в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [- k , k ] имеет вид:

В качестве примера, разложим в ряд Фурье функцию f ( x ) = x на отрезке [ -1 , 1 ]. В этом случае коэффициенты a n и b n определяются по формулам:

Таким образом, разложение функции f ( x ) = x в ряд Фурье на отрезке [ -1 , 1 ] имеет вид:

На рисунке ниже приведено два графика: f ( x ) = x (красным цветом) и

, (синим цветом) для которого мы взяли порядок разложения функции в ряд Фурье равным 25.

Стоит отметить, что в приведенном выше примере, коэффициенты a n равны нулю не случайно. Дело в том, что функция f ( x ) = x является нечетной на интервале [ -1 , 1 ]. Функция

- напротив является чётной. Произведение чётной функции на нечетную является нечётной функцией, поэтому согласно свойствам, интеграл от нечётной функции на симметричном интервале равен нулю.

В случае, если бы мы раскладывали в ряд Фурье на симметричном интервале какую-нибудь чётную функцию, например x 2 , коэффициенты b n равнялись бы нулю, поскольку в этом случае, подинтегральное выражение

- являлось бы нечётной функцией.

  • Разложение в ряд Фурье нечётной функции на симметричном интервале будет содержить только слагаемые с синусами.
  • Разложение в ряд Фурье чётной функции на симметричном интервале будет содержить только слагаемые с косинусами.
  • Если нам необходимо получить разложение в ряд Фурье некоторой произвольной функции на интервале [ 0 , b ] , то у нас есть две возможности. Мы можем продолжить эту функцию на интервал [ -b , 0 ] нечётным образом и тогда в разложении получим только синусы. Или же мы можем продолжить её в указанный интервал чётным образом и тогда получим в разложении только косинусы.

Стоит также отметить, что используя приведённые выше формулы и соответствующую замену переменной, можно получить формулы для коэффициентов разложения функции в ряд Фурье на произвольном интервале [ p , q ]:

Рядом Фурье функции f(x) на интервале (-l;l) называется тригонометрический ряд вида:
, где
.

Для функций по модулю (например, |x| ), используйте разложение по косинусам.

Ряд Фурье кусочно-непрерывной, кусочно-монотонной и ограниченной на интервале (-l;l) функции сходится на всей числовой оси.

  • является периодической функцией с периодом 2l. Функция u(x) называется периодической с периодом T (или T-периодической), если для всех x области R, u(x+T)=u(x).
  • на интервале (-l;l) совпадает с функцией f(x), за исключением точек разрыва
  • в точках разрыва (первого рода, т.к. функция ограничена) функции f(x) и на концах интервала принимает средние значения:

Если f(x) – четная функция, то в ее разложении участвуют только четные функции, то есть bn=0.
Если f(x) – нечетная функция, то в ее разложении участвуют только нечетные функции, то есть аn=0

Рядом Фурье функции f(x) на интервале (0;l) по косинусам кратных дуг называется ряд:
, где
.
Рядом Фурье функции f(x) на интервале (0;l) по синусам кратных дуг называется ряд:
, где .
Сумма ряда Фурье по косинусам кратных дуг является четной периодической функцией с периодом 2l, совпадающей с f(x) на интервале (0;l) в точках непрерывности.
Сумма ряда Фурье по синусам кратных дуг является нечетной периодической функцией с периодом 2l, совпадающей с f(x) на интервале (0;l) в точках непрерывности.
Ряд Фурье для данной функции на данном интервале обладает свойством единственности, то есть если разложение получено каким-либо иным способом, чем использование формул, например, при помощи подбора коэффициентов, то эти коэффициенты совпадают с вычисленными по формулам.

Пример №1 . Разложить функцию f(x)=1:
а) в полный ряд Фурье на интервале (-π ;π);
б) в ряд по синусам кратных дуг на интервале (0;π); построить график полученного ряда Фурье
Решение:
а) Разложение в ряд Фурье на интервале(-π;π) имеет вид:
,
причем все коэффициенты bn=0, т.к. данная функция – четная; таким образом,

Очевидно, равенство будет выполнено, если принять
а0=2, а1=а2=а3=…=0
В силу свойства единственности это и есть искомые коэффициенты. Таким образом, искомое разложение: или просто 1=1.
В таком случае, когда ряд тождественно совпадает со своей функцией, график ряда Фурье совпадает с графиком функции на всей числовой прямой.
б) Разложение на интервале (0;π) по синусам кратных дуг имеет вид:
Подобрать коэффициенты так, чтобы равенство тождественно выполнялось, очевидно, невозможно. Воспользуемся формулой для вычисления коэффициентов:

Таким образом, для четных n (n=2k) имеем bn=0, для нечетных (n=2k-1) -
Окончательно, .
Построим график полученного ряда Фурье, воспользовавшись его свойствами (см. выше).
Прежде всего, строим график данной функции на заданном интервале. Далее, воспользовавшись нечетностью суммы ряда, продолжаем график симметрично началу координат:

Продолжаем периодическим образом на всей числовой оси:

И наконец, в точках разрыва заполняем средние (между правым и левым пределом) значения:

Пример №2 . Разложить функцию на интервале (0;6) по синусам кратных дуг
Решение: Искомое разложение имеет вид:

Поскольку и левая, и правая части равенства содержат только функции sin от различных аргументов, следует проверить, совпадают ли при каких-либо значениях n (натуральных!) аргументы синусов в левой и правой частях равенства:
или , откуда n=18. Значит, такое слагаемое содержится в правой части и коэффициент при нем должен совпадать с коэффициентом в левой части: b18=1;
или , откуда n=4. Значит, b4=-5.
Таким образом, при помощи подбора коэффициентов удалось получить искомое разложение:

Пример №3 . Разложить в ряд Фурье функцию

Решение. Сначала вычисляем T = 4 и ω =2π/4= π/2. Теперь находим



Первый интеграл находим

Второй интеграл берём по частям, выбирая u = 3x, dv = cos(πnx/2), тогда du = 3dx, v = sin(πnx/2)/ (πn/2). Получаем


Итак, для n = 1, 3, 5, . . . an= 2/(π 2 n 2 ) , а для n = 2, 4, 6, . . . an= 0.
Аналогично находим

В итоге получаем разложение

Введите функцию, которую будете разложить в ряд Фурье

Выполним разложение функции f(x)
в ряд Фурье на отрезке [a, b]

Что умеет калькулятор ряда Фурье?

Вы вводите функцию и период.

  • Делает преобразование Фурье
  • Различные формы и записи ряда:
    • Тригонометрический ряд Фурье
    • Комлексный ряд Фурье
    • Коэффициенты Фурье функции f: a0, an, bn
    • Амплитуда n-го гармонического колебания An
    • Начальная фаза n-го колебания θn
    • Угловая частота первой или основной гармоники ω
    • Самой функции
    • Частичные суммы Фурье
    Правила ввода выражений и функций
    Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
    (модуль x или |x|) arccos(x) Функция - арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция - арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x exp(x) Функция - экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
    (Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция - Синус от x cos(x) Функция - Косинус от x sinh(x) Функция - Синус гиперболический от x cosh(x) Функция - Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция - квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция - Квадрат x ctg(x) Функция - Котангенс от x arcctg(x) Функция - Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция - Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция - Тангенс от x tgh(x) Функция - Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция - кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x - умножение 3/x - деление x^3 - возведение в степень x + 7 - сложение x - 6 - вычитание 15/7 - дробь
    Другие функции: asec(x) Функция - арксеканс от x acsc(x) Функция - арккосеканс от x sec(x) Функция - секанс от x csc(x) Функция - косеканс от x floor(x) Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция - Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа asech(x) Функция - гиперболический арксеканс от x csch(x) Функция - гиперболический косеканс от x sech(x) Функция - гиперболический секанс от x acsch(x) Функция - гиперболический арккосеканс от x
    Постоянные: pi Число "Пи", которое примерно равно

    3.14159.. e Число e - основание натурального логарифма, примерно равно

    2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности - знак для бесконечности

    Введите функцию, которую будете раскладывать в ряд Тейлора

    Выполним разложение функции f(x) в ряд Тейлора в точки x0 до n-го члена.

    Данный калькулятор также знает как разложить функцию в степенной ряд.

    Другие функции

    С применением степени
    (квадрат и куб) и дроби

    С применением синуса и косинуса

    Гиберболические синус и косинус

    Гиберболические тангенс и котангенс

    Гиберболические арксинус и арккосинус

    Гиберболические арктангенс и арккотангенс

    Правила ввода выражений и функций
    Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
    (модуль x или |x|) arccos(x) Функция - арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция - арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x exp(x) Функция - экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
    (Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция - Синус от x cos(x) Функция - Косинус от x sinh(x) Функция - Синус гиперболический от x cosh(x) Функция - Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция - квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция - Квадрат x ctg(x) Функция - Котангенс от x arcctg(x) Функция - Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция - Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция - Тангенс от x tgh(x) Функция - Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция - кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x - умножение 3/x - деление x^3 - возведение в степень x + 7 - сложение x - 6 - вычитание 15/7 - дробь
    Другие функции: asec(x) Функция - арксеканс от x acsc(x) Функция - арккосеканс от x sec(x) Функция - секанс от x csc(x) Функция - косеканс от x floor(x) Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция - Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа asech(x) Функция - гиперболический арксеканс от x csch(x) Функция - гиперболический косеканс от x sech(x) Функция - гиперболический секанс от x acsch(x) Функция - гиперболический арккосеканс от x
    Постоянные: pi Число "Пи", которое примерно равно

    3.14159.. e Число e - основание натурального логарифма, примерно равно

    2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности - знак для бесконечности

    Читайте также: