Производная функции y sin x в точке x 0 равна

Обновлено: 07.07.2024

Знаки операций:
+ - сложение,
- - вычитание,
* - умножение,
/ - деление,
^ - возведение в степень.

Знак умножения нужно вводить только между числами, во всех остальных случаях его можно не вводить.

Список функций:

Функция	Описание	Пример ввода	Результат ввода
pi	Число $\pi$	pi	$$ \pi $$
e	Число $e$	e	$$ e $$
e^x	Степень числа $e$	e^(2x)	$$ e^ $$
exp(x)	Степень числа $e$	exp(1/3)	$$ \sqrt[3] $$
\|x\| abs(x)	Модуль (абсолютное значение) числа $x$	\|x-1\| abs(cos(x))	$ \|x-1\| $ $ \|\cos(x)\| $
sin(x)	Синус	sin(x-1)	$$ sin(x-1) $$
cos(x)	Косинус	1/(cos(x))^2	$$ \frac $$
tg(x)	Тангенс	x*tg(x)	$$ x \cdot tg(x) $$
ctg(x)	Котангенс	3ctg(1/x)	$$ 3 ctg \left( \frac \right) $$
arcsin(x)	Арксинус	arcsin(x)	$$ arcsin(x) $$
arccos(x)	Арккосинус	arccos(x)	$$ arccos(x) $$
arctg(x)	Арктангенс	arctg(x)	$$ arctg(x) $$
arcctg(x)	Арккотангенс	arcctg(x)	$$ arcctg(x) $$
sqrt(x)	Квадратный корень	sqrt(1/x)	$$ \sqrt<\frac> $$
root(n,x)	Корень степени n root(2,x) эквивалентно sqrt(x)	root(4,exp(x))	$$ \sqrt[4] < e^> $$
x^(1/n)	Корень степени n x^(1/2) эквивалентно sqrt(x)	(cos(x))^(1/3)	$$ \sqrt[\Large 3 \normalsize] $$
ln(x) log(x) log(e,x)	Натуральный логарифм (основание - число e )	1/ln(3-x)	$$ \frac $$
log(10,x)	Десятичный логарифм числа x	log(10,x^2+x)	$$ log_(x^2+x) $$
log(a,x)	Логарифм x по основанию a	log(3,cos(x))	$$ log_3(cos(x)) $$
sh(x)	Гиперболический синус	sh(x-1)	$$ sh(x-1) $$
ch(x)	Гиперболический косинус	ch(x)	$$ ch(x) $$
th(x)	Гиперболический тангенс	th(x)	$$ th(x) $$
cth(x)	Гиперболический котангенс	cth(x)	$$ cth(x) $$

Почему решение на английском языке?

При решении этой задачи используется большой и дорогой модуль одного "забугорного" сервиса. Решение он выдает в виде изображения и только на английском языке. Изменить это, к сожалению, нельзя. Ничего лучше мы найти не смогли. Зато он выводит подробное и очень качественное решение в том виде в котором оно принято в высших учебных заведениях. Единственное неудобство - на английском языке, но это не большая цена за качество.

Некоторые пояснения по выводу решения.

Вывод	Перевод, пояснение
derivative	производная
Find the derivative of . with respect to x via implicit differentiation.	Находим производную . по x с помощью неявного дифференцирования.
$\large\frac$ или $\large\fracu$	Это производная функции $u$ по переменной $x$. В общеобразовательных школах чаще пишут "штрих": $u'_x$ или просто $u'$
$\large\frac$ или $\large\frace^u$	Это производная функции $e^u$ по переменной $u$.
Express $x^x$ as a power of $e$	Представим $x^x$ как степень $e$
Factor out constants	Выносим константы за знак дифференциала
Simplify . using the identity .	Упрощаем . используя равенство .
Using the chain rule	Используем правило дифференцирования сложной (дословно - "цепи") функции
Using the product rule	Используем правило дифференцирования произведения
Using the quotient rule	Используем правило дифференцирования частного (дроби)
Using the power rule	Используем правило дифференцирования степени
Differentiate the sum term by term	Дифференцируем сумму почленно
The derivative of x is 1	Производная x это 1
Simplify the expression	Упрощаем выражение
Answer	Ответ
$log(x)$	Натуральный логарифм, основание - число e. У нас пишут $ln(x)$
$arccos(x)$ или $cos^(x)$	Арккосинус. У нас пишут $ arccos(x) $
$arcsin(x)$ или $sin^(x)$	Арксинус. У нас пишут $ arcsin(x) $
$tan(x)$	Тангенс. У нас пишут $tg(x) = \frac$
$arctan(x)$ или $tan^(x)$	Арктангенс. У нас пишут $arctg(x)$
$cot(x)$	Котангенс. У нас пишут $ctg(x) = \frac$
$arccot(x)$ или $cot^(x)$	Арккотангенс. У нас пишут $arcctg(x)$
$sec(x)$	Секанс. У нас пишут также $sec(x) = \frac$
$csc(x)$	Косеканс. У нас пишут $cosec(x) = \frac$
$cosh(x)$	Гиперболический косинус. У нас пишут $ch(x) = \frac> $
$sinh(x)$	Гиперболический синус. У нас пишут $sh(x) = \frac> $
$tanh(x)$	Гиперболический тангенс. У нас пишут $th(x) = \frac>> $
$coth(x)$	Гиперболический котангенс. У нас пишут $cth(x) = \frac $

Если вам что-то осталось не понятно обязательно напишите об этом в Обратной связи и мы дополним эту таблицу.

264. Используя распределительное свойство умножения, вычислите произ- ведение удобным способом: a) 71 9; 6) 39.9 в) 15 61; 1) 5.52 д) 3 - 901; е) 701 … - 12. 265. Раскройте скобки: а) 9 - (5х + 2); 6) 7 (9x - 11); в) 5 (7c + 3); г) (10 + 7x) 6; д) (3y — 5) 3; е) (9 – 5y) - 8. 266. Найдите значение выражения: а) 12а + 51b, при а = 11 и b = 23, б) 59р - 23q, при p = 13 и 4 = 22 267.528 - 5 = 528 (10:2) = (528.10. - 5280

2a+5b делится на 101 и a*b делится на 101. Написать наименьшее число 3a+2b

вася сьедает 1 банку сгущенки за 1 час а петя за 2 часа, за какое время они сьедят её вместе

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Как найти производную, исходяя из ее определения?

Правила нахождения производных

Пример 1 . Найти производную функции y=cos 4 x .
Решение.
Внешней функцией здесь служит степенная функция: cos(x) возводится в четвертую степень. Дифференцируя эту степенную функцию по промежуточному аргументу cos(x) , получим
(cos 4 x)′_{cos x} = 4cos 4-1 x = 4cos 3 x
но промежуточный аргумент cos(x) – функция независимой переменной х ; поэтому надо полученный результат умножить на производную от cos(x) по независимой переменной х . Таким образом, получим
y′_x = (cos 4 x)′_{cos x}·(cosx)′_x = 4·cos 3 x·(-sin x) = -4·cos 3 x·sin x
При дифференцировании функций нет необходимости в таких подробных записях. Результат следует писать сразу, представляя последовательно в уме промежуточные аргументы.

Пример 2 . Найти производную функции
.

.
В некоторых случаях, если, например, нужно найти производную функции y = (u(x)) v(x) , или функции, заданной в виде произведения большого числа сомножителей, используется так называемый способ логарифмического дифференцирования.

Пример 3 . Найти производную функции
.
Решение.
Применим метод логарифмического дифференцирования. Рассмотрим функцию

Пример 4 . Найти производную функции y=x e x
Решение.
;
.

Смешанные частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:

Правила ввода функции, заданной в явном виде

Примеры
x 2 +xy ≡ x^2+x*y .
cos 2 (2x+y) ≡ (cos(2*x+y))^2
≡ (x-y)^(2/3)

Правила ввода функции, заданной в неявном виде

Все переменные выражаются через x,y,z
Примеры
≡ x^2/(z+y)
cos 2 (2x+zy) ≡ (cos(2*x+z*y))^2
≡ z+(x-y)^(2/3)

Частные производные используются, например, при нахождении полного дифференциала и экстремумов функции.

Частные производные функции нескольких переменных

Ели одному из аргументов функции z = f(x,y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: Δ_xz=f(x+Δ_x,y)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу x ; Δ_yz=f(x,y+Δ_y)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу у .
Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:
– это частная производная функции z по аргументу x ;
– это частная производная функции z по аргументу у .
Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.

Пример 1 . z=2x 5 +3x 2 y+y 2 –4x+5y-1

Пример 2 . Найти частные производные функции z = f(x;y) в точке A(x₀;y₀).

Читайте также:

Вывод	Перевод, пояснение
derivative	производная
Find the derivative of . with respect to x via implicit differentiation.	Находим производную . по x с помощью неявного дифференцирования.
\(\large\frac\) или \(\large\fracu\)	Это производная функции \(u\) по переменной \(x\). В общеобразовательных школах чаще пишут "штрих": \(u'_x\) или просто \(u'\)
\(\large\frac\) или \(\large\frace^u\)	Это производная функции \(e^u\) по переменной \(u\).
Express \(x^x\) as a power of \(e\)	Представим \(x^x\) как степень \(e\)
Factor out constants	Выносим константы за знак дифференциала
Simplify . using the identity .	Упрощаем . используя равенство .
Using the chain rule	Используем правило дифференцирования сложной (дословно - "цепи") функции
Using the product rule	Используем правило дифференцирования произведения
Using the quotient rule	Используем правило дифференцирования частного (дроби)
Using the power rule	Используем правило дифференцирования степени
Differentiate the sum term by term	Дифференцируем сумму почленно
The derivative of x is 1	Производная x это 1
Simplify the expression	Упрощаем выражение
Answer	Ответ
\(log(x)\)	Натуральный логарифм, основание - число e. У нас пишут \(ln(x)\)
\(arccos(x)\) или \(cos^(x)\)	Арккосинус. У нас пишут \( arccos(x) \)
\(arcsin(x)\) или \(sin^(x)\)	Арксинус. У нас пишут \( arcsin(x) \)
\(tan(x)\)	Тангенс. У нас пишут \(tg(x) = \frac\)
\(arctan(x)\) или \(tan^(x)\)	Арктангенс. У нас пишут \(arctg(x)\)
\(cot(x)\)	Котангенс. У нас пишут \(ctg(x) = \frac\)
\(arccot(x)\) или \(cot^(x)\)	Арккотангенс. У нас пишут \(arcctg(x)\)
\(sec(x)\)	Секанс. У нас пишут также \(sec(x) = \frac\)
\(csc(x)\)	Косеканс. У нас пишут \(cosec(x) = \frac\)
\(cosh(x)\)	Гиперболический косинус. У нас пишут \(ch(x) = \frac> \)
\(sinh(x)\)	Гиперболический синус. У нас пишут \(sh(x) = \frac> \)
\(tanh(x)\)	Гиперболический тангенс. У нас пишут \(th(x) = \frac>> \)
\(coth(x)\)	Гиперболический котангенс. У нас пишут \(cth(x) = \frac \)

Функция	Описание	Пример ввода	Результат ввода
pi	Число \(\pi\)	pi	$$ \pi $$
e	Число \(e\)	e	$$ e $$
e^x	Степень числа \(e\)	e^(2x)	$$ e^ $$
exp(x)	Степень числа \(e\)	exp(1/3)	$$ \sqrt[3] $$
\|x\| abs(x)	Модуль (абсолютное значение) числа \(x\)	\|x-1\| abs(cos(x))	\( \|x-1\| \) \( \|\cos(x)\| \)
sin(x)	Синус	sin(x-1)	$$ sin(x-1) $$
cos(x)	Косинус	1/(cos(x))^2	$$ \frac $$
tg(x)	Тангенс	x*tg(x)	$$ x \cdot tg(x) $$
ctg(x)	Котангенс	3ctg(1/x)	$$ 3 ctg \left( \frac \right) $$
arcsin(x)	Арксинус	arcsin(x)	$$ arcsin(x) $$
arccos(x)	Арккосинус	arccos(x)	$$ arccos(x) $$
arctg(x)	Арктангенс	arctg(x)	$$ arctg(x) $$
arcctg(x)	Арккотангенс	arcctg(x)	$$ arcctg(x) $$
sqrt(x)	Квадратный корень	sqrt(1/x)	$$ \sqrt<\frac> $$
root(n,x)	Корень степени n root(2,x) эквивалентно sqrt(x)	root(4,exp(x))	$$ \sqrt[4] < e^> $$
x^(1/n)	Корень степени n x^(1/2) эквивалентно sqrt(x)	(cos(x))^(1/3)	$$ \sqrt[\Large 3 \normalsize] $$
ln(x) log(x) log(e,x)	Натуральный логарифм (основание - число e )	1/ln(3-x)	$$ \frac $$
log(10,x)	Десятичный логарифм числа x	log(10,x^2+x)	$$ log_(x^2+x) $$
log(a,x)	Логарифм x по основанию a	log(3,cos(x))	$$ log_3(cos(x)) $$
sh(x)	Гиперболический синус	sh(x-1)	$$ sh(x-1) $$
ch(x)	Гиперболический косинус	ch(x)	$$ ch(x) $$
th(x)	Гиперболический тангенс	th(x)	$$ th(x) $$
cth(x)	Гиперболический котангенс	cth(x)	$$ cth(x) $$