Признак сравнения рядов sin
Обновлено: 05.07.2024
Рассмотрим четыре достаточных признака сходимости числового ряда .
1. Признак Даламбера .
Если , то
при q = 1 получаем неопределенность.
2. Радикальный признак Коши .
Если ,
при q = 1 получаем неопределенность.
3. Интегральный признак Коши .
Если существует, то ряд сходится; если интеграл не существует (т. е. равен ±∞) – ряд расходится.
4. Признак сравнения .
Если сходится и un ≤ vn, то также сходится, если расходится и un ≥ vn, то также расходится.
Для признака сравнения в качестве ряда часто используется , который , A - произвольная постоянная величина; причем .
Пример 1 . Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Применим признак Даламбера:
;
= = ряд сходится.
Пример 2 . Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Применим радикальный признак Коши:
ряд сходится.
Замечание: вычисляем следующим образом: так как в числителе и знаменателе дроби старшие степени переменной n равны, то выписываем коэффициенты при n 2 соответственно из числителя и знаменателя.
Пример 3 . Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Применим интегральный признак Коши:
, так как интеграл не существует, то ряд расходится.
Пример 4 . Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Сравним ряд с , который сходится, так как степень α переменной n : α=2 > 1. При этом , следовательно ряд также сходится.
В первой и второй частях этой темы мы начали разбирать примеры применения признаков сравнения для исследования вопроса сходимости положительных рядов. На этой странице мы станем использовать сугубо второй признак сравнения (кроме последнего примера), или как его ещё именуют, признак сравнения в предельной форме. Напомню его формулировку:
Второй признак сравнения
Пусть заданы два положительных ряда $\sum\limits_Ряды, с которыми станем сравнивать, всё те же, что и в предыдущих частях. Это обобщённый гармонический ряд
который сходится если $\alpha > 1$ и расходится при $\alpha ≤ 1$, и сумма геометрической прогрессии
Ряд (2) сходится если $|q| < 1$ и расходится если $|q|≥ 1$.
На этой странице поговорим о рядах, для исследования которых приходится привлекать эквивалентные бесконечно малые функции. В конце этого документа указана таблица, где составлен список основных эквивалентных бесконечно малых функций.
Для всех рядов на этой странице $\lim_
В последнем примере №13 рассмотрим применение признака сравнения в несколько нестандартном случае.
Для вычисления пределов будем использовать методы, изложенные в теме "Пределы с иррациональностями", а также "Предел отношения двух многочленов".
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac>\arctg\frac<\pi>>$. Для начала определим, является ли этот ряд положительным, т.е. верно ли неравенство $u_n≥ 0$. Сомножитель $\frac>> 0$, это ясно, а вот что насчёт арктангенса? С арктангесом ничего сложного: так как $\frac<\pi>> >0$, то и $\arctg\frac<\pi>>>0$. Вывод: наш ряд является положительным. Применим признак сравнения для исследования вопроса сходимости этого ряда.
Для начала выберем ряд, с которым станем сравнивать. Если $n\to\infty$, то $\frac<\pi>>\to 0$. Следовательно, $\arctg\frac<\pi>>\sim\frac<\pi>>$. Почему так? Если посмотреть таблицу в конце этого документа, то мы увидим формулу $\arctg x\sim x$ при $x\to 0$. Мы эту формулу и использовали, только в нашем случае $x=\frac<\pi>>$.
Заменим в выражении $\frac>\arctg\frac<\pi>>$ арктангенс на дробь $\frac<\pi>>$. Получим мы следующее: $\frac>\frac<\pi>>$. С такими дробями мы уже работали ранее. Отбрасывая "лишние" элементы, придём к дроби $\frac\cdot\sqrt[3]>=\frac
Так как $0<\frac<\pi>><\infty$, то ряды $\sum\limits_^<\infty>\frac>\arctg\frac<\pi>>$ и $\sum\limits_^<\infty>\frac>$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac>$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac>\arctg\frac<\pi>>$.
Отмечу, что в данном случае вместо арктангенса в выражении общего члена ряда мог быть синус, арксинус или тангенс. Решение осталось бы тем же самым.
Ответ: ряд расходится.
Исследовать ряд $\sum\limits_^<\infty>\left(1-\cos\frac\right)$ на сходимость.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=1-\cos\frac$. Так как для любого значения $x$ имеем $-1≤\cos x≤ 1$, то $\cos\frac≤ 1$. Следовательно, $1-\cos\frac≥ 0$, т.е. $u_n≥ 0$. Мы имеем дело с положительным рядом.
Если $n\to\infty$, то $\frac\to 0$. Следовательно, $1-\cos\frac\sim \frac<\left(\frac\right)^2>=\frac$. Почему так? Если посмотреть таблицу в конце этого документа, то мы увидим формулу $1-\cos x \sim \frac$ при $x\to 0$. Мы эту формулу и использовали, только в нашем случае $x=\frac$.
Заменим выражение $1-\cos\frac$ на $\frac$. Отбрасывая "лишние" элементы, придём к дроби $\frac$. Именно с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac$ мы и станем сравнивать заданный ряд, используя второй признак сравнения. Так как $2 > 1$, то ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$ сходится.
Так как $0<\frac<\infty$, то ряды $\sum\limits_^<\infty>\left(1-\cos\frac\right)$ и $\sum\limits_^<\infty>\frac$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>\left(1-\cos\frac\right)$.
Ответ: ряд сходится.
Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_^<\infty>n\left(e^\frac-1\right)^2$.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=n\left(e^\frac-1\right)^2$. Так как оба сомножителя положительны, то $u_n >0$, т.е. мы имеем дело с положительным рядом.
Если $n\to\infty$, то $\frac\to 0$. Следовательно, $e^\frac-1\sim\frac$. Использованная нами формула размещена в таблице в конце этого документа: $e^x-1 \sim x$ при $x\to 0$. В нашем случае $x=\frac$.
Заменим выражение $e^\frac-1$ на $\frac$, получив при этом $n\cdot\left(\frac\right)^2=\frac$. Отбрасывая число, придём к дроби $\frac$. Именно с гармоническим рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac$ мы и станем сравнивать заданный ряд, используя второй признак сравнения. Напомню, что гармонический ряд расходится.
Так как $0<9<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac$ будет расходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>n\left(e^\frac-1\right)^2$.
Ответ: ряд расходится.
Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_^<\infty>\ln\frac$.
Заметить эквивалентность, которая нужна в этом случае, несколько тяжеловато. Запишем выражение под логарифмом немного в иной форме:
Вот теперь формула видна: $\ln(1+x)\sim x$ при $x\to 0$. Так как при $n\to\infty$ имеем $\frac\to 0$, то $\ln\left(1+\frac\right)\sim\frac$.
Заменим выражение $\ln\frac$ на $\frac$. Отбрасывая "лишние" элементы, придём к дроби $\frac$. Именно с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac$ мы и станем сравнивать заданный ряд, используя второй признак сравнения. Так как $3 > 1$, то ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$ сходится.
Так как $0<2<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac$ сходится и ряд $\sum\limits_^<\infty>\ln\frac$.
Ответ: ряд сходится.
Исследовать ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$ на сходимость.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac$. Так как $u_n ≥ 0$, то заданный ряд является положительным.
Общий член ряда содержит произведение элементов в степени $n$. Кроме того, есть $n!$. В этом случае удобно применить признак Д'Аламбера. Однако при желании можно использовать и признак сравнения. Так как $\left(\frac\right)^n < n! < e\cdot\left(\frac\right)^n$, то можем записать такое неравенство для общего члена ряда:
Так как $\left|\frac\right| < 1$, то ряд $\sum\limits_^<\infty>\left(\frac\right)^n$ (это ряд вида (2)) сходится. Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\left(\frac\right)^n$ сходится и $\frac < \left(\frac\right)^n$, то согласно первому признаку сравнения (пункт 2) будет сходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$.
Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда и свойства числовых рядов (в частности, нам понадобятся свойства №3 и №4). Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему "Выбор признака сходимости числовых рядов".
Признаки сравнения применяются для исследования числовых рядов, члены которых неотрицательны, т.е. больше или равны нулю. Такие ряды называются положительными (в части литературы – неотрицательными или знакоположительными). Именно такие ряды мы и станем рассматривать в данной теме.
Первый признак сравнения (или первая теорема сравнения) формулируется следующим образом:
Первый признак сравнения
- если ряд $\sum\limits_^<\infty>u_n$ расходится, то ряд $\sum\limits_^<\infty>v_n$ будет расходящимся.
- если ряд $\sum\limits_^<\infty>v_n$ сходится, то ряд $\sum\limits_^<\infty>u_n$ будет сходящимся.
Признак сравнения можно сформулировать также и в иной форме. Обычно говорят, что это второй признак сравнения (или вторая теорема сравнения). Иногда его называют предельным признаком сравнения или признаком сравнения в предельной форме. Формулировка его такова:
Второй признак сравнения
Пусть заданы два положительных ряда $\sum\limits_Заметьте, что для применения признаков сравнения нам нужно иметь некий ряд, сходимость которого известна заранее. Чаще всего в роли ряда для сравнения выступает обобщённый гармонический ряд
Если $\alpha > 1$, то ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$ сходится, а если $\alpha ≤ 1$, то ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$ расходится. Например, ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$ сходится, так как $5 > 1$, а ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac>=\sum\limits_^<\infty>\frac>>$ расходится, так как $\frac≤ 1$.
Особо стоит обратить внимание на случай $\alpha=1$, т.е. ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac=\sum\limits_^<\infty>\frac$. Ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$ называют гармоническим рядом. Гармонический ряд расходится.
Кроме того, частенько для сравнения используется ряд такого вида:
Этот ряд представляет собой сумму членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1=a$ и знаменателем $q$. Этот ряд сходится если $|q| < 1$ и расходится если $|q|≥ 1$. Например, ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac=\sum\limits_^<\infty>\left(4\cdot\left(\frac\right)^n\right)$ подпадает под вид ряда (2). Этот ряд сходится, так как $\left| \frac\right|=\frac < 1$.
Чаще всего в стандартных примерах признаки сравнения применяются, если общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Например, $u_n=\frac$ (см. пример №1). Или же вместо многочленов (или вместе с ними) могут присутствовать корни от многочленов (см. пример №3). Для рядов такого вида приходится выбирать между необходимым признаком сходимости и признаками сравнения. Иногда общий член ряда может содержать не только многочлен, а и некий "отвлекающий элемент", который не влияет на сходимость (см. вторую часть этой темы). Иногда, чтобы увидеть ряд для сравнения, приходится использовать эвивалентные бесконечно малые функции (см. примеры в третьей части).
Для вычисления пределов будем использовать методы, изложенные в теме "Пределы с иррациональностями", а также "Предел отношения двух многочленов".
Для начала неплохо бы проверить выполнение необходимого условия сходимости, т.е. найти $\lim_
Так как $\lim_
Для того, чтобы эти признаки использовать, нам понадобится ряд, с которым станем сравнивать. Чтобы выбрать ряд для сравнения, поисследуем поведение общего члена заданного нам ряда при $n\to\infty$. Это можно сделать с помощью несколько неформальных рассуждений. Так как эти рассуждения, возможно, будут интересны не всем читателям, то я скрою их под примечание.
Как выбрать ряд для сравнения? показать\скрыть
Я не буду касаться такой темы как порядок роста, просто приведу некие общие соображения. Давайте посмотрим на общий член ряда повнимательнее. Сначала обратимся, например, к знаменателю. В знаменателе общего члена ряда расположены степени $n^3$, $n^2$ и число -4. Номер $n$ всё увеличивается, стремясь в бесконечность. Вопрос: какой элемент ($n^3$ или $n^2$) с возрастанием номера $n$ будет расти быстрее прочих?
Ответ здесь прост: наиболее быстро будет увеличивать свои значения именно $n^3$. Например, когда $n=100$, то $n^2=10\,000$, а $n^3=1\,000\,000$. И этот разрыв между значениями $n^2$ и $n^3$ будет всё больше и больше. Поэтому все слагаемые знаменателя, кроме тех, что содержат $n^3$, мы мысленно отбросим. В числителе также проведем подобную процедуру "отбрасывания", оставив лишь $9n$ (число 7 в числителе явно не сыграет никакой роли по сравнению с $9n$). Таким образом дробь $\frac$ после всех отбрасываний станет такой: $\frac=\frac\cdot\frac$. Иными словами, если $n\to\infty$, то общий член ряда будет крайне мало отличаться от выражения $\frac\cdot\frac$.
Множитель $\frac$ можно также отбросить, ибо он не влияет на сходимость. И останется после такой "очистки" лишь $\frac$. А что мы можем сказать про ряд с общим членом $v_n=\frac$? Это обобщенный гармонический ряд. В знаменателе общего члена этого ряда степень $n$ равна 2, поэтому так как $2 > 1$, то ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$ сходится.
Вот с этим сходящимся рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac$ мы и станем сравнивать заданный нам ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$. По сути, мы уже неформально решили задачу: наш ряд будет сходиться. Осталось лишь показать это строгими рассуждениями.
Рассмотрим, как решить нашу задачу с помощью как первого, так и второго признаков сравнения.
Решение с помощью первого признака сравнения
Итак, общий член ряда таков: $u_n=\frac$. Неформальными рассуждениями (скрытыми выше под примечание) мы пришли к выводу, что наш ряд сходится. Для этого случая применяется второй пункт первого признака сравнения. Нам нужно показать, что общий член нашего ряда удовлетворяет неравенству $\frac≤ v_n$, при этом ряд $\sum\limits_^<\infty>v_n$ сходится. Тогда и заданный нам ряд будет сходиться.
Станем увеличивать дробь $\frac$. Наша цель: привести данную дробь к виду $\frac$. Почему именно к этому виду? Для ответа на данный вопрос прошу раскрыть примечание выше.
Пойдём далее и поработаем со знаменателем. Чтобы увеличить дробь, знаменатель нужно уменьшить. Например, можно рассудить так: мы знаем, что $n≥ 1$. Тогда $5n^2-4 > 0$. Значит, если мы отбросим в знаменателе выражение $5n^2-4$, то знаменатель уменьшится. Следовательно, наша дробь увеличится. Продолжим предыдущее неравенство:
Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$ сходится, то будет сходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>\left(8\cdot\frac\right)$ (см. пункт №4 в разделе про свойства числовых рядов). Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\left(8\cdot\frac\right)$ сходится и $\frac < 8\cdot\frac$, то согласно первому признаку сравнения (пункт №2) ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$ сходится.
Решение с помощью второго признака сравнения
Если в предыдущем пункте мы занимались самодеятельностью, выбирая и отбрасывая некие "куски" в формуле общего члена ряда, то решение с помощью предельного признака сравнения полностью алгоритмично. В примечании выше мы уже выяснили, что сравнивать наш ряд нужно с сходящимся рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac$. Итак, общий член нашего ряда $u_n=\frac$. Общий член ряда, с которым мы сравниваем: $v_n=\frac$. Второй признак сравнения работает с пределом $\lim_
Так как $0<\frac<\infty$, то ряды $\sum\limits_^<\infty>\frac$ и $\sum\limits_^<\infty>\frac$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$.
В общем случае, конечно, выбирают один признак сравнения, а не оба сразу :) При решении примеров на этой странице я буду использовать оба способа – для наглядности.
Ответ: ряд сходится.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac$. Общий член $u_n > 0$, т.е. наш ряд является положительным.
Как и в предыдущем примере, попробуем проверить выполнение необходимого условия сходимости, т.е. найдём $\lim_
Так как $\lim_
Выясним, с каким же рядом нужно сравнивать заданный в условии ряд. Попробуем отбросить "лишние" элементы числителя и знаменателя точно так же, как это было сделано в примере №1. Останется у нас такая дробь: $\frac=\frac\cdot\frac$. Вот с гармоническим рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac$ мы и станем сравнивать заданный ряд. Гармонический ряд расходится, поэтому и наш ряд будет расходиться. Нам осталось лишь показать это формально с помощью признаков сравнения.
Решение с помощью первого признака сравнения
Неформальными рассуждениями, проведенными выше, мы пришли к выводу, что наш ряд расходится. Для этого случая применяется первый пункт первого признака сравнения. Нам нужно показать, что общий член нашего ряда удовлетворяет неравенству $v_n≤ \frac$, при этом ряд $\sum\limits_^<\infty>v_n$ расходится. Тогда и заданный нам ряд будет расходиться.
Станем уменьшать дробь $\frac$. Наша цель: привести данную дробь к виду $\frac$.
Чтобы уменьшить некую дробь, есть два пути: уменьшить числитель или увеличить знаменатель. Так как $n≥ 1$, то $2n+9 > 0$. Поэтому если мы отбросим в числителе $2n+9$, то уменьшим числитель, тем самым уменьшив рассматриваемую дробь:
Поработаем с знаменателем. Если мы его увеличим, то дробь уменьшится. Так как $n≥ 1$, то $3n+5≤ 3n+5n=8n$. Итак, если мы вместо $3n+5$ запишем $8n$, то знаменатель увеличится:
Дальнейшие рассуждения стандартны: так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$ расходится, то будет расходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>\left( \frac\cdot\frac\right)$. Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\left( \frac\cdot\frac\right)$ расходится и $\frac > \frac\cdot\frac$, то согласно первому признаку сравнения (пункт №1) ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$ будет расходиться.
Решение с помощью второго признака сравнения
Ранее мы уже выяснили, что сравнивать заданный ряд нужно с расходящимся рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac$. Сравним заданный ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$ с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac$, используя второй признак сравнения . Данный признак работает с пределом $\lim_
Так как $0<\frac<\infty$, то ряды $\sum\limits_^<\infty>\frac$ и $\sum\limits_^<\infty>\frac$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$.
Ответ: ряд расходится.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac+2n^3-4>>$. Сразу обращаем внимание, что $u_n > 0$, т.е. наш ряд положительный. Точно так же, как и в предыдущих примерах, можно проверить выполнение необходимого условия сходимости, однако эта проверка лишь покажет, что $\lim_
Для проверки сходимости заданного ряда с помощью признаков сравнения для начала составим ряд, с которым станем сравнивать. Попробуем отбросить "лишние" элементы числителя и знаменателя точно так же, как это было сделано в примерах №1 и №2. Останется у нас такая дробь:
Вот с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac>>$ мы и станем сравнивать заданный ряд. Так как $\frac > 1$, то ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac>>$ сходится. Следовательно, и наш ряд будет сходиться, нам осталось лишь показать это формально с помощью признаков сравнения.
Решение с помощью первого признака сравнения
Неформальными рассуждениями выше мы пришли к выводу, что наш ряд сходится. Для этого случая применяется второй пункт первого признака сравнения. Нам нужно показать, что общий член нашего ряда удовлетворяет неравенству $\frac+2n^3-4>>≤ v_n$ и ряд $\sum\limits_^<\infty>v_n$ сходится. Тогда и заданный нам ряд будет сходиться.
Станем увеличивать дробь $\frac+2n^3-4>>$. Наша цель: привести данную дробь к виду $\frac>>$.
Чтобы увеличить данную дробь, для начала увеличим числитель. Если мы отбросим число (-3), то числитель станет больше. А значит и сама дробь увеличится:
Поработаем с знаменателем. Если мы его уменьшим, то дробь увеличится. Так как $n≥ 1$, то $7n^-4≥ 7n^-4n^=3n^$. Итак, если мы вместо $7n^-4$ запишем $3n^$, то знаменатель уменьшится, а дробь увеличится:
Теперь сделаем так: выкинем из знаменателя слагаемое $2n^3$. Тем самым мы уменьшим знаменатель, а саму дробь увеличим:
Решение с помощью второго признака сравнения
Мы уже выяснили, что сравнивать заданный ряд нужно с сходящимся рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac>>$. Сравним заданный ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac+2n^3-4>>$ с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac>>$, используя второй признак сравнения . Данный признак работает с пределом $\lim_
Для вычисления предела был использован метод, изложенный в теме "Пределы с иррациональностями". Так как $0<\frac><\infty$, то ряды $\sum\limits_^<\infty>\frac+2n^3-4>>$ и $\sum\limits_^<\infty>\frac>>$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac>>$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac+2n^3-4>>$.
Ответ: ряд сходится.
Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_^<\infty>\left(\sqrt-\sqrt\right)$.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\sqrt-\sqrt$. Здесь сразу можно заметить, что так как $\sqrt> \sqrt$, то $u_n > 0$, т.е. наш ряд положительный. Можно при желании проверить выполнение необходимого условия сходимости, однако эта проверка ничего не даст (предел $\lim_
Перед тем, как применять некие признаки сравнения, выражение общего члена ряда лучше немного преобразовать. Тут поможет домножение на сопряжённое выражение, т.е. на $\sqrt+\sqrt$. Естественно, что если мы домножаем на некое выражение, то на него же обязаны и разделить. При упрощении нам поможет формула $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Итак:
Теперь наш ряд имеет вид $\sum\limits_^<\infty>\frac+\sqrt>$. Применяя рассуждения, аналогичные проведённым в предыдущих примерах, получим, что сравнивать наш ряд надо с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac>$. Ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac>=\sum\limits_^<\infty>\frac
Решение с помощью первого признака сравнения
Неформальными рассуждениями выше мы пришли к выводу, что наш ряд расходится. Станем уменьшать дробь $\frac+\sqrt>$. Так как $\sqrt> \sqrt$, то записав выражение $\sqrt$ вместо $\sqrt$ мы увеличим знаменатель, тем самым уменьшив дробь:
Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac>$ расходится, то будет расходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>\left(\frac\cdot\frac>\right)$. Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\left(\frac\cdot\frac>\right)$ расходится и $\frac+\sqrt> >\frac\cdot\frac>$, то согласно первому признаку сравнения (пункт №1) ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac+\sqrt>$ будет расходиться.
Решение с помощью второго признака сравнения
Мы уже выяснили, что сравнивать заданный ряд нужно с расходящимся рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac>$. Сравним заданный ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac+\sqrt>$ с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac>$, используя второй признак сравнения. Оба общих члена сравниваемых рядов не равны нулю, поэтому в знаменателе можем размещать общий член любого ряда:
Так как $0<\sqrt<\infty$, то ряды $\sum\limits_^<\infty>\frac+\sqrt>$ и $\sum\limits_^<\infty>\frac>$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac>$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac+\sqrt>$.
Ответ: ряд расходится.
Продолжение темы исследования сходимости рядов с помощью признаков сравнения рассмотрим во второй и третьей частях.
Представьте ситуацию: вам требуется найти область сходимости функционального ряда. А, собственно, чего тут представлять – наверное, требуется =) Если ряд степенной – никаких проблем. В некоторых случаях помогает признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Но вот попался такой «экземпляр», с которым не понятно, что делать. …Ну что же, поздравляю – Вы попали туда, куда нужно!
Начнём с классики жанра:
Найти область сходимости функционального ряда
Во-первых, обратим внимание, что это НЕ степенной ряд (напоминаю, что оный имеет вид ). И, во-вторых, здесь сразу бросается в глаза значение , которое заведомо не может входить в область сходимости ряда. И это уже маленький успех исследования!
Но всё-таки, как прийти к успеху большому? Спешу вас обрадовать – подобные ряды можно решать точно так же, как и степенные – опираясь на признак Даламбера или радикальный признак Коши!
Решение: значение не входит в область сходимости ряда. Это факт существенный, и его нужно обязательно отметить!
Основой же алгоритм работает стандартно. Используя признак Даламбера, найдём интервал сходимости ряда:
Ряд сходится при . Поднимем модуль наверх:
Вспоминаем, что такое неравенство раскрывается через совокупность неравенств:
В результате мы получили ДВА интервала сходимости: и , чего, кстати, принципиально не может быть у рядов степенных.
Сразу проконтролируем «нехорошую» точку: значение не вошло в область сходимости ряда.
Исследуем сходимость ряда на «внутренних» концах интервалов:
если , то
если , то
Оба числовых ряда расходятся, так как не выполнен необходимый признак сходимости.
Ответ: область сходимости:
Выполним небольшую аналитическую проверку. Давайте подставим в функциональный ряд какое-нибудь значение из правого интервала, например, :
– сходится по признаку Даламбера.
В случае подстановки значений из левого интервала тоже получаются сходящиеся ряды:
если , то .
И, наконец, если , то ряд – действительно расходится.
Пара простеньких примера для разогрева:
Найти область сходимости функционального ряда
Найти область сходимости функционального ряда
Особенно хорошо разберитесь с «новым» модулем – он сегодня встретится 100500 раз!
Краткие решения и ответы в конце урока.
Использованные алгоритмы вроде бы универсальны и безотказны, но на самом деле это не так – для многих функциональных рядов они часто «пробуксовывают», а то и приводят к ошибочным выводам (и такие примеры я тоже рассмотрю).
Шероховатости начинаются уже на уровне интерпретации результатов: рассмотрим, например, ряд . Здесь в пределе получаем (проверьте самостоятельно), и по идее нужно дать ответ, что ряд сходится в единственной точке. Однако, точка «заиграна», а значит, наш «пациент» расходится вообще всюду!
А для ряда «очевидное» решение «по Коши» вообще ничего не даёт:
– для ЛЮБОГО значения «икс».
И возникает вопрос, что же делать? Используем метод, которому как раз будет посвящена основная часть урока! Его можно сформулировать следующим образом:
Прямой анализ числовых рядов при различных значениях
Фактически мы уже начали этим заниматься в Примере 1. Сначала исследуем какое-нибудь конкретное «икс» и соответствующий числовой ряд. Напрашивается взять значение :
– полученный числовой ряд расходится.
И это сразу наталкивает на мысль: а что, если то же самое происходит и в других точках?
Проверим-ка необходимый признак сходимости ряда для произвольного значения :
Точка учтена выше, для всех же остальных «икс» стандартным приёмом организуем второй замечательный предел:
Вывод: ряд расходится на всей числовой прямой
И это решение – самый что ни на есть рабочий вариант!
На практике функциональный ряд часто приходится сопоставлять с обобщённым гармоническим рядом :
Исследовать сходимость функционального ряда
Решение: прежде всего, разбираемся с областью определения: в данном случае подкоренное выражение должно быть строго положительным, и, кроме того, должны существовать все члены ряда, начиная с 1-го. Из этого следует то, что:
. При этих значениях получаются условно сходящиеся ряды:
и т.д.
Другие же «икс» не годятся, так, например, при мы получим нелегальный случай , где не существует первых двух членов ряда.
Это всё хорошо, это всё понятно, но остаётся ещё один немаловажный вопрос – как грамотно оформить решение? Я предлагаю схему, которую можно жаргонно назвать «перевод стрелок» на числовые ряды:
Рассмотрим произвольное значение и исследуем сходимость числового ряда . Рутинный признак Лейбница:
1) Данный ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: , значит, убывание монотонно.
Вывод: ряд сходится по признаку Лейбница. Как уже отмечалось, сходимость тут условная – по той причине, что ряд – расходится.
Вот так вот – аккуратно и корректно! Ибо за «альфой» мы хитро спрятали все допустимые числовые ряды.
Ответ: функциональный ряд существует и сходится условно при .
Аналогичный пример для самостоятельного решения:
Исследовать сходимость функционального ряда
Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.
Обратите внимание, что признак Вейерштрасса здесь неуместен – по той причине, что неравенство справедливо далеко не для всех . Но с другой стороны, данный признак тоже не нужно «списывать со счетов» – так, для ряда он прекрасно срабатывает, и подобные примеры встречаются реально!
Кроме того, переменная «икс» может оказаться и в показателе:
Найти область сходимости функционального ряда
Решение: во-первых, сразу же отмечаем, что .
Простейшим рядом этой «категории» является ряд , область сходимости которого лежит на ладони: . Однако наш «кадр» чуть замысловатей. Поскольку в числителе находится , то функциональный ряд будет сходиться уже при . На границе получается расходящийся ряд (эквивалентный гармоническому).
«Одинокий» же в знаменателе не принимаем во внимание – по существу он играет роль множителя-константы.
Ответ: область сходимости:
Думаю, следующий пример не должен вызвать у вас особых трудностей, хотя… как знать, как знать ;)
Найти область сходимости функционального ряда
Краткое решение и ответ в конце урока
Помимо обобщенного гармонического ряда, в широком ходу бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: . Удачный пример, кстати, был в начале урока: – данный ряд можно исследовать не только «по Коши», но и из тех соображений, что основание сходящейся геометрической прогрессии находится в пределах .
Или такой вот простецкий ряд: – его целесообразно исследовать по образцу Примера 5, осуществив предельное сравнение понятно с какой прогрессией.
Однако ж многие пришли сюда за сложными рядами, и я просто не могу обмануть ваших ожиданий:)
Найти область сходимости функционального ряда
Проведём предварительный анализ: какие числовые ряды тут приходят на ум? Ну, например, такие: – сходится, – расходится и т.п.
Поведение подобных рядов зависит именно от основания геометрической прогрессии, многочлены же уступают в порядке роста и не играют особой роли. В данном примере ряд будет гарантированно сходиться, если:
Решение: со знаменателем всё в порядке и поэтому сразу же записываем, что функциональный ряд сходится при:
Согласны? Тогда решаем (внимание!) СИСТЕМУ неравенств:
Иными словами, должно выполняться и то, и другое:
1) Решим соответствующее квадратное уравнение для 1-го неравенства:
Таким образом, парабола не пересекает ось , и поскольку её ветви направлены вверх, то неравенство выполнено при любом действительном значении .
2) Разбираемся со 2-м неравенством. Снова – находим нули соответствующей функции:
А вот это уже более содержательный результат. Здесь можно использовать метод интервалов, но проще опять проанализировать расположение графика. Парабола пересекает ось абсцисс в двух точках и её ветви направлены вверх, поэтому неравенству соответствует интервал .
С пересечением двух промежутков сложностей вообще никаких:
– интервал сходимости исследуемого функционального ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
если , то – сходится;
если , то – такой же.
Полученный ряд настолько прост, что я не буду доказывать его сходимость. Но при оформлении задания, возможно, потребуется подробное исследование – тут всё зависит от степени придирчивости вашего рецензента.
Ответ: сходится абсолютно при
Чуть более занятный пример для самостоятельного решения:
…ну…, вы уже догадываетесь, что с ним нужно сделать =)
Но то были, конечно же, шутки:
Найти область сходимости функционального ряда
По «общим очертаниям» здесь напрашивается прямое сравнение с геометрической прогрессией . Почему бы не соорудить конструкцию ?
Правое неравенство, например, – будет выполнено для всех «икс» и для всех «эн»….
…на самом деле этот путь ошибочен – как мы увидим ниже, несмотря на «тотальное» выполнение неравенства, сходимость ряда ещё не гарантирована! Анализ и ещё раз анализ:
Решение: сначала традиционное исследование «подозрительных» точек. А под подозрение здесь попадают значения – вдруг там знаменатель обращается в ноль? Выполним проверку:
если , то
если , то
Нет, всё в порядке – числовые ряды существуют и расходятся. Другое значение, которое «лежит на поверхности», это ноль:
– тривиальный сходящийся ряд.
Итак, что мы имеем? В точках функциональный ряд расходится, а в точке – сходится. И это наводит на мысль исследовать три интервала:
– с рабочей гипотезой, что «посередине» ряд сходится, а «по краям» – расходится.
Используем тот же самый «перевод стрелок» на числовые ряды. Начать удобно с правого интервала:
1) Рассмотрим произвольное значение и исследуем сходимость числового ряда .
! Если объяснения будут восприниматься трудно, мысленно подставляйте какое-нибудь конкретное число, например, .
Для всех «эн» справедливо неравенство , следовательно:
– таким образом, по признаку сравнения ряд сходится вместе с бесконечно убывающей геометрической прогрессией .
Примечание: как вариант, можно было применить предельный признак сравнения
Вот тебе и «рабочая гипотеза»! – на интервале функциональный ряд сходится!
2) С симметричным интервалом всё прозрачно, рассматриваем произвольные значения и получаем: – абсолютно сходящиеся числовые ряды.
3) И, наконец, «серединка» . Здесь тоже удобно выделить два промежутка.
Рассматриваем произвольное значение из интервала и получаем числовой ряд:
! Опять же – если трудно, подставляйте какое-нибудь конкретное число, например . Впрочем,… вы же хотели трудностей =)
Для всех значений «эн» выполнено , значит:
– таким образом, по признаку сравнения ряд сходится вместе с бесконечно убывающей прогрессией .
Для всех значений «икс» из интервала получаем – абсолютно сходящиеся числовые ряды.
Все «иксы» исследованы, «иксов» больше нет!
Ответ: область сходимости ряда:
Надо сказать, неожиданный результат! И ещё следует добавить, что использование признаков Даламбера или Коши здесь однозначно введёт в заблуждение!
Прямая оценка – это «высший пилотаж» математического анализа, но для этого, конечно, требуется опыт, а где-то даже и интуиция.
Успешного вам приземления:)
Найти область сходимости функционального ряда
Моя версия решения совсем близко.
Дополнительный хардкор можно найти в Разделе VI (Ряды) сборника Кузнецова (Задачи 11-13). В Интернете есть готовые решения, но здесь я должен вас предостеречь – многие из них неполные, некорректные, а то и вообще ошибочные. И, к слову, это была одна из причин, по которой появилась на свет данная статья.
Давайте подведём итоги трёх уроков и систематизируем наш инструментарий. Итак:
Чтобы найти интервал(ы) сходимости функционального ряда, можно использовать:
1) Признак Даламбера или признак Коши. И если ряд не степенной – проявляем повышенную осторожность, анализируя полученный результат прямой подстановкой различных значений .
3) Сопоставление с типовыми числовыми рядами – рулит в общем случае.
После чего исследуем концы найденных интервалов (если нужно) и получаем область сходимости ряда.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: значение не входит в область сходимости ряда.
Используем признак Даламбера:
Ряд сходится при:
Таким образом, интервалы сходимости функционального ряда: .
Исследуем сходимость ряда в конечных точках:
если , то ;
если , то .
Оба числовых ряда расходятся, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости.
Ответ: область сходимости:
Пример 3: Решение: (см. область определения логарифма).
Интервал сходимости ряда найдём с помощью радикального признака Коши:
Ряд сходится при:
(применили основное логарифмическое тождество).
– интервал сходимости ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найдённого интервала:
если , то – расходится;
если , то – расходится.
Ответ: ряд сходится при .
Пример 5: Решение: т.к. знаменатель не может обращаться в ноль, то:
Рассмотрим произвольное значение и исследуем сходимость числового ряда . Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:
– конечное число, отличное от нуля, значит, ряд сходится вместе с рядом .
Ответ: функциональный ряд сходится на всей числовой прямой кроме точек
Пример 7: Решение: ряд вида сходится условно при и абсолютно – при . Но в нашем случае в числителе находится ещё , и поэтому нужно сделать поправку на 1/2-ю (прибавить). Найдём всю область сходимости ряда:
Исследуем сходимость ряда в конечных точках найденных интервалов:
если , то: – расходится.
Из аналогичного неравенства следует, что ряд сходится абсолютно при и при .
Ответ: ряд сходится условно на промежутках и абсолютно на интервалах .
Пример 9: Решение: проверим, обращается ли знаменатель в ноль при каких-либо действительных значениях :
Функциональный ряд сходится, если:
1) Решим неравенство :
Так как парабола не пересекает ось абсцисс и её ветви направлены вверх, то неравенство не имеет решений.
2) Решим неравенство :
Решение:
Таким образом:
– интервалы сходимости исследуемого функционального ряда. Исследуем его сходимость в точках:
– расходится;
– расходится.
Ответ: область сходимости ряда:
Пример 11: Решение: значения обращают знаменатель в ноль, и поэтому не могут входить в область сходимости ряда.
1) Рассмотрим произвольное значение и исследуем сходимость числового ряда . Проверим необходимый признак сходимости:
– не выполнен.
Таким образом, функциональный ряд расходится на .
2) Рассмотрим произвольное значение интервала :
– расходится по этой же причине.
3) Исследуем значения на интервале :
– сравним данный ряд со сходящимся рядом , используем предельный признак сравнения:
– конечное число, отличное от нуля, значит, ряд сходится вместе с прогрессией .
Если же , то получаем ряд – сходится абсолютно.
Ответ: функциональный ряд сходится при
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам
Читайте также: