Полный дифференциал функции z sin xy

Обновлено: 05.07.2024

Задание. Найти частные производные функции z в точке A(-1;0) .
z = ln(x 2 +y 2 )+y/x
Решение.
Находим частные производные:

Задача 1. Дана функция z = f(x,y). Требуется:
1) найти частные производные dz/dx и dz/dy;
2) найти полный дифференциал dz;
3) показать, что для данной функции справедливо равенство: d 2 z/dxdy = d 2 z/dydx.

Пример 1. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
Решение.
Найдем частные производные и .
,
.
Подставим их в уравнение


Получим тождество. Следовательно, функция z удовлетворяет данному уравнению.

Пример 2. Дана функция и две точки A(4;2 )и B(4.03;1.96). Требуется: 1) вычислить значение функции в точке В;
2) вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;
3) оценить в процентах относительную погрешность, возникшую при замене приращения функции ее дифференциалом.
Решение.

Смешанные частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:

Правила ввода функции, заданной в явном виде
  2. Примеры
    x 2 +xy ≡ x^2+x*y .
    cos 2 (2x+y) ≡ (cos(2*x+y))^2
    ≡ (x-y)^(2/3)
Правила ввода функции, заданной в неявном виде
  1. Все переменные выражаются через x,y,z
  2. Примеры
    ≡ x^2/(z+y)
    cos 2 (2x+zy) ≡ (cos(2*x+z*y))^2
    ≡ z+(x-y)^(2/3)
Частные производные используются, например, при нахождении полного дифференциала и экстремумов функции.

Частные производные функции нескольких переменных

Ели одному из аргументов функции z = f(x,y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: Δxz=f(x+Δx,y)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу x ; Δyz=f(x,y+Δy)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу у .
Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:
– это частная производная функции z по аргументу x ;
– это частная производная функции z по аргументу у .
Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.

Пример 1 . z=2x 5 +3x 2 y+y 2 –4x+5y-1

Пример 2 . Найти частные производные функции z = f(x;y) в точке A(x0;y0).

Дифференциал функции

Полный дифференциал для функции двух переменных:

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Точки разрыва функции

Алгоритм исследования построения графика функции


Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Вычисление интегралов

Пример . Найти производные и дифференциалы данных функций.
а) y=4 tg2 x
Решение:

дифференциал:
б)
Решение:

дифференциал:
в) y=arcsin 2 (lnx)
Решение:

дифференциал:
г)
Решение:
=
дифференциал:

snow99

Задано ромб, у якого усі сторони та одна з діагоналей pівні 6 см. Всередині або на сторонах цього ромба вибирають довільним чином 9 точок. Доведіть, щ … о принаймні дві з них знаходяться на відстані не більшій від 3 см.​

5. У трапеції АВСD з основами AD і BC, AD> BC, діагоналі АС і BD перетинаються в точці Е. Дотична до описаного кола трикутника ВСЕ, проведена в точ … ці Е, перетинає пряму AD в точцi F так, що точка D лежить мiж точками A i F. Відомо, що =a. AD-b. Знайдіть довжину вiдрiзка EF​

Приведите пример нескольких бинарных отношений:а) отношение, которое частично упорядочивают множество и как минимум 4 элемента упорядоченыb) исходное … и обратное бинарное отношение, которые обладают разными свойствами и оба нерефлексивны

Читайте также: