Период функции вида y a sin kx b y acos kx b
Обновлено: 07.07.2024
Областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.
Множеством значений функции y = sin x и y = cos x является отрезок -1 ≤ y ≤ 1. Данные функции ограничены сверху и снизу.
Областью определения функции y = tg x является множество чисел x ≠ π/2 + πk, kЄ Z.
Областью определения функции y = сtg x является множество чисел x ≠ πk, kЄ Z.
Множеством значений функции y = tg x и y =сtg x является множество R всех действительных чисел, т.к. уравнения tg x = a и сtg x = a имеют корни при любом действительном значении a. Функции неограниченные.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.
Дополнительная литература:
Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
- Что такое функция?
- Что такое область определения функции? Чем является область определения функции геометрически?
- Что такое множество значений функции? Чем является множество значений функции геометрически?
Ответы на вопросы:
- Если каждому значению x из некоторого множества чисел поставлено в соответствие по определенному правилу числоy, то говорят, что на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у – зависимой переменной или функцией. Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают y=f(x).
- Областью определения функции называют множество всех допустимых значений переменной x. Геометрически – это проекция графика функции на ось Ох.
Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически – это проекция графика функции на ось Оy.
Найдите область определения функции и множество значений функции:
1) ; 2) ; 3) .
D(f): 1) ; 2) ; 3)
E(f): 1); 2) ; 3) .
Объяснение нового материала
С помощью единичной окружности сделайте выводы об области определения и множестве значений тригонометрических функций.
Итак, Областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.
Множеством значений функции y = sin x и y = cos x является отрезок -1 ≤ y ≤ 1. Данные функции ограничены сверху и снизу.
Областью определения функции y = tg x является множество чисел x ≠ π/2 + πk, kЄ Z.
Областью определения функции y = сtg x является множество чисел x ≠ πk, kЄ Z.
Множеством значений функции y = tg x и y =сtg x является множество R всех действительных чисел, т.к. уравнения tg x = a и сtg x = a имеют корни при любом действительном значении a. Функции неограниченные.
Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:
Пример 1. Найти область определения функции .
;
;
;
Ответ: −.
Пример 2. Найти все решения уравнения
;
.
Период функций, представляющих собой сумму непрерывных и периодических функций, равен наименьшему кратному периодов слагаемых, если он существует.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.
Дополнительная литература:
Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Косинус (cos α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |ОА| к длине гипотенузы |ОВ|.
Область. определения функции (D) — множество R всех действительных чисел
Множество значений функции (E) — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция —ограниченная.
Для того, чтобы определить чётность функции косинус проверим следующие определения: функция чётная, f(−x)=f(x) и функцию нечётная, f(−x)=−f(x).
Например, cos(60°) = ½ = cos(–60°)–это значит, что : cos(−x)=cos x для всех x∈R и у=сosx–чётная
Сиинус(sin α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |АВ| к длине гипотенузы |ОВ|.
Область определения функции (D) — множество R всех действительных чисел.
Множество значений функции (E) — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция —ограниченная.
Для того, чтобы определить чётность функции синус проверим следующие определения: функция чётная, f(−x)=f(x) и функцию нечётная, f(−x)=−f(x).
Например, sin(30°) = ½ sin(–30°) = –½ –это значит, что : sin(−x)=–sin (x) для всех x∈R и y=sinx–нечётная
–нечётная
–нечётная
Период функций y=sin x, y=cos xравен 2π, период функций tgx, ctgx равен π.
Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Выясним, является ли функция
чётной или нечётной?
Пример 2. Доказать, что число 2π является наименьшим положительным периодом функции y=cos x
Пусть Т>0 – период косинуса, т.е. для любого х выполняется равенство cos (x+T)= cos x. Положив х=0, получим cos T=1. Отсюда Т=2πk, x∈R. Так как Т>0, то может принимать значения 2π, 4π, 6π,…, и поэтому период не может быть меньше 2π
Найдите наименьший положительный период функций и узнайте названия основных тригонометрических функций.
© Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа»
Онлайн калькулятор для определения периодичности функции. Периодическая функция - это функция повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (периода функции) на всей области определения.
Периодичная функция может иметь и несколько периодов, самый маленький положительный из них называется основным.
Читайте также: