Определите какие из его корней принадлежат отрезку 2 корень из 10
Обновлено: 05.07.2024
4 = 10 + 6
4 ≠ 16 − значит , x = − 2 не является корнем уравнения.
1 = 10 + 3
1 ≠ 13 − значит , x = − 1 не является корнем уравнения.
0 = 10 − 0
0 ≠ 10 − значит , x = 0 не является корнем уравнения.
4 = 10 − 6
4 = 4 − значит , x = 2 является корнем уравнения.
9 = 10 − 9
9 ≠ 1 − значит , x = 3 не является корнем уравнения.
Решение б
− 2 * ( 4 − 7 ) = 6
− 2 * (− 3 ) = 6
6 = 6 − значит , x = − 2 является корнем уравнения.
− 1 * ( 1 − 7 ) = 6
− 1 * (− 6 ) = 6
6 = 6 − значит , x = − 1 является корнем уравнения.
0 * ( 0 − 7 ) = 6
0 * (− 7 ) = 6
0 ≠ 6 − значит , x = 0 не является корнем уравнения.
2 * ( 4 − 7 ) = 6
2 * (− 3 ) = 6
− 6 ≠ 6 − значит , x = 2 не является корнем уравнения.
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
б) Укажем корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Получим точку
Источник: ЕГЭ по математике 26.03.2015. Досрочная волна, Восток.Почему корень 2pi не подходит?
Потому, что такого корня нет
Почему нет продолжения решения cos^2x+1=0
А вы знаете число квадрат косинуса которого равен -1?
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Либо либо то есть
б) Корни этого уравнения, принадлежащие отрезку отберём с помощью тригонометрической окружности.
На указанном отрезке лежат
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Преобразуем исходное уравнение:
б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Сделаем замену и преобразуем уравнение
Вернёмся к исходной переменной:
б) Корни уравнения, принадлежащие отрезку отберём с помощью единичной окружности. Заметим, что тогда а Подходит только корень
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 305. (Часть C)а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Решим уравнение:
б) Проверим, какие из корней принадлежат отрезку
Корень не принадлежит отрезку
Проверим второй корень. Заметим, что Поэтому:
Аналоги к заданию № 514081: 515781 Все
Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С1., Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 8. (Часть C).а) Решите уравнение:
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Пусть тогда поскольку и получаем:
б) Найдём корни, лежащие на заданном отрезке:
Тем самым, отрезку принадлежит корни и
Приведём другое решение.
В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, имеем:
Аналоги к заданию № 505236: 505246 505386 505407 517499 Все
Источник: Задания 13 (С1) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 991 (C часть).а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Решим уравнение :
Теперь решим уравнение :
Наконец, чтобы второй множитель был определен, нужно чтобы
поэтому из решений первого уравнения подходит лишь
б) Ясно, что не лежит на нужном отрезке, а
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Решим уравнение:
б) Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). На заданном промежутке лежат корни:
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 318. (Часть C)а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
а) Преобразуем уравнение:
б) Найдем корни, лежащие на заданном отрезке. Составим двойное неравенство: откуда Следовательно, или тогда искомые корни и
Аналоги к заданию № 485964: 485965 511326 Все
cosx/sinx=ctgx, тогда получается ctgx=-1, а не tgx=-1
Можно и так. На ответ это не повлияет
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Решим уравнение:
б) Отберём корни на промежутке с помощью тригонометрической окружности (см. рис.). Получим число
а) Решите уравнение:
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Запишем исходное уравнение в виде: Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, приравнено к единице, поэтому исследовать ОДЗ не требуется.
Для решения полученного тригонометрического уравнения используем формулу косинуса двойного угла откуда получаем Обозначая имеем:
Вернемся к исходной переменной. Уравнение корней не имеет, поскольку косинус не больше 1.
Из уравнения находим: или
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:
б) Найди все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 2 π ; 7 π 2 .
a) Уравнение прежде всего иррациональное, поэтому решается возведением обеих частей в квадрат. С учётом ОДЗ получаем:
Стоит заметить, что рассматривать оба неравенства в системе нам не нужно, так как мы будем решать уравнение. Поэтому можно оставить только одно — более простое неравенство:
Прежде всего избавимся от двойного угла в уравнении:
sin x = cos 2 x ; sin x − cos 2 x = 0 ; sin x − ( cos 2 x − sin 2 x ) = 0 ; sin x − ( 1 − sin 2 x − sin 2 x ) = 0 ; sin x − ( 1 − 2sin 2 x ) = 0 ; 2sin 2 x + sin x − 1 = 0 ; sin x = − 1, sin x = 1 2 .
\(sin x= -1\) исключаем, так как это значение не входит в ОДЗ, а решения второго уравнения обозначим на тригонометрической окружности.
б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок 2 π ; 7 π 2 .
вернёмся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному диапазону:
указанный отрезок соответствует неравенству 2 π ≤ x ≤ 7 π 2 . Подставим в него полученные корни:
| 2 π ≤ π 6 + 2 π n ≤ 7 π 2 , n ∈ ℤ : π ; 2 ≤ 1 6 + 2 n ≤ 7 2 , n ∈ ℤ − 1 6 ; 2 − 1 6 ≤ 2 n ≤ 7 2 − 1 6 , n ∈ ℤ ; 11 6 ≤ 2 n ≤ 20 6 , n ∈ ℤ : 2 ; 11 12 ≤ n ≤ 20 12 , n ∈ ℤ ; n = 1 ; x = π 6 + 2 π ⋅ 1 = 13 π 6 | 2 π ≤ 5 π 6 + 2 π m ≤ 7 π 2 , m ∈ ℤ : π ; 2 ≤ 5 6 + 2 m ≤ 7 2 , m ∈ ℤ − 5 6 ; 2 − 5 6 ≤ 2 m ≤ 7 2 − 5 6 , m ∈ ℤ ; 7 6 ≤ 2 m ≤ 16 6 , m ∈ ℤ : 2 ; 7 12 ≤ m ≤ 16 12 , m ∈ ℤ ; m = 1 ; x = 5 π 6 + 2 π ⋅ 1 = 17 π 6 |
разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо \(n\) и \(m\) \(0\), а потом добавим к каждому корню периоды.
Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.
Ответ: а) x = π 6 + 2 π n , n ∈ ℤ , x = 5 π 6 + 2 π m , m ∈ ℤ ; б) 13 π 6 , 17 π 6 .
Рекомендуем при решении тригонометрических уравнений использовать несколько разных способов отбора. Это поможет тебе убедиться в правильности отбора корней и выработать навык выбора более удобного способа.
Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.
Сейчас задание 12 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.
Что необходимо помнить при решении уравнений?
1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть — помним, что он существует, только если
2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.
3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.
4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.
5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.
Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка . От нее и будем отсчитывать. Получим:
6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Упростим левую часть по формуле приведения.
Вынесем за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок
Видим, что указанному отрезку принадлежат решения
Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.
Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка От нее и отсчитываем.
2. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.
Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.
Это ответ в пункте (а).
б) Отберем корни, принадлежащие отрезку
Отметим на тригонометрическом круге отрезок и найденные серии решений.
Видим, что указанному отрезку принадлежат точки и из серии
Точки серии не входят в указанный отрезок.
А из серии в указанный отрезок входит точка
Ответ в пункте (б):
3. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Применим формулу косинуса двойного угла:
Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.
Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.
б) Для разнообразия отберем корни на отрезке с помощью двойного неравенства.
Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».
Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.
Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии на отрезке Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.
4. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие заметно сразу. А условие появляется, поскольку в уравнении есть
Уравнение равносильно системе:
Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых , то есть те, что соответствуют точкам справа от оси .
Ответ в пункте а)
б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок
Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки
5. а) Решите уравнение
б) Найдите корни, принадлежащие отрезку
Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Это значит, что уравнение равносильно системе:
Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых или . Заметим, что среди них находятся и углы, для которых
Числа серии не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие . Остальные серии решений нас устраивают.
Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:
б) Отберем корни, принадлежащие отрезку любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.
Читайте также: