Найти период функции sin 2 6x

Обновлено: 05.07.2024

Онлайн калькулятор для определения периодичности функции. Периодическая функция - это функция повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (периода функции) на всей области определения.

Периодичная функция может иметь и несколько периодов, самый маленький положительный из них называется основным.

$\left(a=\operatorname<const></p> <p> \right)$

Типичная школьная задача - нахождение периода функции. Теперь вы можете решить эту быстро онлайн с помощью нашего калькулятора. Для это надо только ввести команду «period» и функцию для которой надо найти период. Кроме того что будет выведен период, если он есть, будет еще и график построен (как на рисунке слева) на котором будет показана величина периода. Чтобы воспользоваться онлайн сервисом нажмите значок копирования, чтобы добавить команду из примера в окно ввода команд для обработки изображений.

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина:

Постройте график данной периодической функции у = f(x) и укажите область ее определения, область значений, промежутки монотонности, точки экстремума, наибольшее и наименьшее значения, нули функции, промежутки знаков постоянства; исследуйте функцию на четность-нечетность:

09.27. а) Период функции равен 2 и f(x) = Sx на промежутке (-1; 1];

б) период функции равен 4 и f(x) = 4 - x2 на отрезке [-2; 2];

в) период функции равен 3 и f

г) период функции равен 1 и f(x) = 2x2 - 1 на промежутке (0; 1).

*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.

Популярные решебники 10 класс Все решебники

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Число Т называют периодом функции у = f (х) .

у = f (х) , то

Чаще всего (но не всегда) среди множества положительных периодов функции можно найти наименьший. Его называют основным периодом .

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

График каждой периодической функции состоит из одинаковых линий повторяющихся и изолированных друг от друга, как в рассматриваемом случае, или соединенных в одну общую линию (синусоида и другие.)

Чаще всего в качестве такого промежутка длиной Т выбирают промежуток с концами в точках

(0; 0) и (Т; 0) .

Рассмотрим функцию

Следовательно, при любом значении х

f (x + 1) = f(x).

А это значит, что рассматриваемая функция периодическая, период которой равен 1 . Любое целое число также является периодом данной функции, но обычно рассматривают только маленький положительный период функции.

График этой функции приведен на рисунке. Он состоит из бесконечного множества равных отрезков, которые повторяются.

Периодичность тригонометрических функций.

Возьмём произвольный угол α и построим подвижной радиус ОМ единичной окружности такой, что угол, составленный с осью Ох этим радиусом, равен α .

Так как синус и косинус угла, составленного с осью Ох подвижным радиусом ОМ единичной окружности, по сути соответственно ордината у и абсцисса х точки М , то

sin (α + 2π) = sin α или

cos (α + 2π) = cos α или

Точно так же, прибавляя к углу α любое целое число полных оборотов, мы не изменим положения подвижного радиуса ОМ , а потому:

sin (α + 2 k π ) = sin α или

cos (α + 2 k π ) = cos α или

Функции, обладающие таким свойством, что их значения не изменяются от прибавления к любому допустимому значению аргумента определённого постоянного числа, называются периодическими .

Наименьшее положительное число, от прибавления которого к любому допустимому значению аргумента не изменяется значение функции, называется периодом функции.

Построим точку М ',

симметричную точке М относительно начала координат. Один из углов, образованных с осью Ох подвижным радиусом ОМ ' , будет равен α + π .

sin α = у, cos α = х,

tg (α + π) = tg α,

с tg (α + π) = с tg α .

отсюда следует, что значения tg α и с tg α не изменяются, если к углу α прибавить любое число полуоборотов:

tg (α + k π ) = tg α,

с tg (α + k π ) = с tg α .

y = A sin ( ωx + φ ) и

y = A cos ( ωx + φ )

вычисляются по формуле

T = 2π /_ω ,

а период функции

y = A tg ( ωx + φ )

T = π /_ω .

Если период функции y = f ( x ) равен T ₁ , а период функции y = g ( x ) равен T ₂ , то период функций

y = f ( x ) + g ( x ) и

равен наименьшему числу, при делении которого на T ₁ и T ₂ получаются целые числа.

Найти период функции

Период функции

T ₁ = 2π / ₁ = 2π .

Период функции

y = 7 со s π x

T ₂ = 2π /_π = 2 .

Периода у функции

не существует, так как такого числа, при делении которого на 2π и на 2 получались бы целые числа, нет.

Периода не существует.

Доказать следующее утверждение :

ПРИМЕР :

Найти основной период функции

Пусть Т основной период функции, тогда:

sin 7х = sin 7(х + t ) = sin (7х + 7 t )

так как 2 πk период синуса, то получим :

sin (7х + 7 t ) = sin (7х + 2 πk ),

Найти основной период функции

Пусть Т основной период функции, тогда:

со s 0,3х = со s 0,3(х + t ) = со s (0,3х + 0,3 t )

так как 2 πk период косинуса, то получим :

со s (0,3х + 0,3 t ) = со s (0,3х + 2 πk ),

Найти период функции :

y = 5 sin 2 x + 2 ctg 3х.

Период функции

y = 5 sin 2 x

равен Т ₁ = 2 𝜋 / ₂ = π ,

а период функции

y = 2 ctg 3х

равен Т ₂ = 𝜋 / ₃ .

Наименьшее число, при делении которого на

Т ₁ = π и Т ₂ = 𝜋 / ₃

Найти период функции :

Находим периоды слагаемых. Период функции

y = 9 sin (5 x + π / ₃ )

равен Т ₁ = 2 𝜋 / ₅ ,

а период функции

y = 4 c о s (7х + 2)

равен Т ₂ = 2 𝜋 / ₇ .

Очевидно, что период заданной функции равен

Т = 2π .

Найти период функции :

y = 3 sin π x + 8 tg (х + 5).

Период функции

y = 3 sin π x

равен Т ₁ = 2 π / _π = 2,

а период функции

y = 8 tg (х + 5)

равен Т ₂ = 𝜋 / ₁ = π.

Периода у заданной функции не существует, так как нет такого числа, при делении которого на 2 и на π одновременно получались бы целые числа.

Найти период функции :

y = sin 3 x + со s 5х.

Период функции

y = sin 3 x

равен Т ₁ = 2 π / ₃ ,

а период функции

y = со s 5х

равен Т ₂ = 2 π / ₅ .

Приведём к общему знаменателю периоды :

Т ₁ = 10 π / ₁₅ , Т ₂ = 6 π / ₁₅ .

На этом уроке мы рассмотрим периодичность функций у = sin t и у = cos t. В начале урока мы обсудим, откуда возникает периодичность у тригонометрических функций, вспомним, что такое координатная прямая и числовая окружность и как отображаются тригонометрические функции на числовой окружности. Далее дадим определение периодической функции и периода и найдем наименьший положительный период для функций синуса и косинуса. Также рассмотрим, как период влияет на исследование функции, рассмотрим графики функции синуса и косинуса на наименьшем положительном периоде и решим ряд задач с использованием периодичности этих функций.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Тригонометрия»

Читайте также:

Найти период функции sin 2 6x

Похожие решебники

Популярные решебники 10 класс Все решебники