Найдите все значения а при каждом из которых уравнение имеет ровно два решения sin 2

Обновлено: 05.07.2024

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных решения.

Корнями исходного уравнения являются те корни числителя, которые не обращают в нуль знаменатель. Числитель имеет два разных корня при всех Эти корни — корни уравнения — должны быть отличны от корней уравнения Подставляя получаем откуда или Возвращаясь к уравнению находим запрещенные значения параметра: и Следовательно, искомые значения параметра суть

Приведем другое решение.

Корнями исходного уравнения являются корни уравнения для которых выполнено условие

Координаты точки пересечения прямых l₁ и m₁ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₁ и m₁ пересекаются в точке (2; 6).

Координаты точки пересечения прямых l₁ и m₂ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₁ и m₂ пересекаются в точке (−1; −3).

Координаты точки пересечения прямых l₂ и m₁ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₂ и m₁ пересекаются в точке (−1; 3).

Координаты точки пересечения прямых l₂ и m₂ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₂ и m₂ пересекаются в точке (2; −6).

Источник: Задания 18 ЕГЭ–2020, ЕГЭ по математике 2020

Можно рассуждать проще.

Уравнение 9x^2 = a^2 всегда имеет как минимум одно решение 9a^2. При a != 0 у нас есть 2 различных решения. Из уравнения следует, что |a| = 3x или a = 3x и a = -3x

Подставляя в уравнение x^2 + 8x + 16 - a^2 = 0 вместо "a" эти выражения находим, когда знаменатель обращается в нуль. Исключаем эти "а" (в том числе а = 0, когда ед.решение) и записываем ответ.

Привели это решение.

Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений

имеет ровно четыре решения.

Преобразуем первое уравнение системы:

Таким образом, исходная система равносильна системе

При вторая система полученной совокупности не имеет решений, а значит, общих решений у первой и второй систем нет. Следовательно, число решений исходной системы равно числу решений первой системы, сложенному с числом решений второй системы. Далее, число решений первой системы определяется числом корней уравнения а число решений второй системы — числом корней уравнения Рассмотрим эти уравнения.

Выразим а из уравнения (⁎):

Исследуем функцию и построим ее график. Найдём производную:

Выразим а из уравнения (⁎⁎):

Исследуем функцию и построим ее график. Найдём производную:

Сравним и для этого рассмотрим разность:

значит, Тогда исходная система имеет:

— шесть решений при

— пять решений при

— четыре решения при

— три решения при

— два решения при

Таким образом, система имеет ровно четыре решения при

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 330. (часть C).

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три решения.

а) прямая проходит через общую точку двух параболы;

б) прямая касается одной из двух парабол.

В случае а) подставим точки (0; 0) и (4; 0) в уравнение прямой и получим два значения для параметра а:

В случае б) уравнение или имеет одно решение, то есть у полученных после преобразования квадратных уравнений дискриминант равен нулю:

Решая уравнения, получаем четыре значения для а: Из условия следует, что Остаются три значения.

Приведём другое решение:

Преобразуем первое уравнение системы.

При таких у первое уравнение системы примет вид:

имеет ровно три решения.

Уравнение (*) равносильно совокупности двух уравнений:

Найдем дискриминант уравнений (1) и (2), обозначив их D₁ и D₂ соответственно.

Найдем условие совпадения корней уравнений (1) и (2). Пусть x₀ — корень как уравнения (1), так и уравнения (2). Тогда верно равенство:

При уравнение (1) примет вид:

Таким образом, совпадение корней уравнений (1) и (2) возможно лишь при и

Для того чтобы уравнение (*) имело ровно три решения необходимо:

Но при этом один и только один из корней уравнения (1) совпадет с одним из корней уравнения (2). Каждый из перечисленных случаев рассмотрим отдельно.

Полученные значения параметра а также отличны от и

Таковыми будут промежутки: и

Докажем, что числа и принадлежат промежутку В данной ситуации нам достаточно доказать:

(неравенство также очевидное).

Найдем корни уравнений (1) и (2) при и и убедимся, что эти значения параметра — искомые.

Итак, при всех значениях кроме и уравнения (1) и (2), следовательно, и исходная система уравнений имеет ровно четыре решения, что нас не устраивает; при значениях же и — ровно три решения.

Найдите все значения параметра a, при которых система

имеет ровно два различных решения.

Заметим, что число решений системы при и одинаково. Искомые значения параметра симметричны относительно нуля. Рассмотрим подробно случай

Точка является решением при любом значении параметра a. Вторая точка пересечения соответствует следующим трем случаям.

— Пересечению с дугой окружности прямой если при этом прямая не пересекает дугу в точке, отличной от точки Этот случай реализуется при

Объединяя полученные значения параметра с соответствующими отрицательными значениями, получаем, что система имеет ровно два различных решения при

В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно два раза.

Решка выпадает ровно два раз в шести случаях: орёл-орёл-решка-решка, решка-орёл-орёл-решка, решка-решка-орёл-орёл, решка-орёл-решка-орёл, орёл-решка-орёл-решка, орёл-решка-решка-орёл. Поэтому вероятность того, что решка выпадет ровно 2 раза, равна

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

На мой взгляд тут вроде бы ошибка в решении. У монетки же всего две стороны, почему вы пишите в каждой комбинации по три цифры? Не так ведь должно быть.

Ошибки нет. У монетки всего две стороны, поэтому мы используем только две цифры 1 и 0.

Матчей было три, монетку бросали три раза, поэтому в каждой комбинации три значения

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Химик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Химик» выиграет жребий ровно два раза.

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Сапфир» выиграет жребий ровно два раза.

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

Преобразуем каждое из уравнений системы.

В соответствии с теоремой Виета:

Теперь заданную систему запишем так:

Она (система) будет равносильна совокупности двух систем:

Рассмотрим систему (1). При этом:

Это уравнение будет иметь решения, если его дискриминант будет неотрицательным.

Система (1) будет иметь ровно одно решение при или при Она же будет иметь ровно два решения при

При система (1) решений не будет иметь. Теперь рассмотрим систему (2).

Перепишем ее так:

Найдем ее главный определитель

Вычислим ее вспомогательные определители:

При система либо не имеет решений, либо имеет бесчисленное множество решений. Случай бесчисленного множества решений исключается, так как для того чтобы система (2) имела бесчисленное множество решений, кроме условия потребуется выполнение равенства Однако оно не выполнимо, так как

Следовательно, при система (2) решений не имеет. При любых других значениях а система (2) будет иметь ровно одно решение. Заметим, что системы (1) и (2) также могут иметь совпадающие решения. Найдем их, если они имеются. Решим уравнение

Итак, при или системы (1) и (2), следовательно, и исходная система имеют ровно два решения: (3; 0) и (1; –2). Обобщим наши исследования и для большей наглядности данные занесем в таблицу:

Значения параметра a

ровно 2 решения

ровно 1 решение

ровно 2 решения

ровно 1 решение

ровно 2 решения (тождественное их совпадение)

ровно 2 решения

ровно 1 решение

ровно 2 решения (тождественное их совпадение)

ровно 2 решения

ровно 1 решение

ровно 2 решения

ровно 1 решение

Найдите все значения параметра при которых уравнение

имеет ровно два решения.

Пусть тогда исходное уравнение принимает вид:

Если вершина находится внутри части плоскости отсекаемой графиком то уравнение имеет два решения, если прямые и совпадают или прямые и совпадают, то уравнение имеет бесконечно много решений, если вершина совпадает с точкой то уравнение имеет одно решение.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения, если одно из уравнений совокупности имеет два решения, а второе не имеет решений, либо если каждое из уравнений совокупности имеет два решения, но эти решения совпадают. Разберём каждый из этих случаев.

Первый случай. При или или уравнение совокупности решений не имеет. Таким образом исходное уравнение имеет два решения, если первое уравнение имеет два решения, а второе — не имеет, либо наоборот. В случае, когда первое уравнение верно система условий имеет вид:

В случае, когда второе уравнение верно система условий имеет вид:

Второй случай. Решения совпадут, если совпадают уравнения, то есть, если откуда При данном значении оба уравнения прнимают вид:

Данное уравнение не имеет решений.

То есть исходное уравнение не имеет решений при равном

Таким образом, уравнение имеет ровно два решения при

Приведём другое решение:

Пусть тогда исходное уравнение принимает вид:

Прямые и (изображены красным пунктиром) разбивают плоскость xOa на четыре части, в каждой из которых модули снимаются одинаково.

I случай: и Получаем

II случай: и Тогда

III случай: и Совокупность принимает вид

IV случай: и Получаем

Графиком совокупности (⁎) являются две ломаные (изображены синим).

Значит, при или исходное уравнение имеет два решения, при или исходное уравнение имеет бесконечное число решений, при исходное уравнение не имеет решений.

Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Восток. Вариант 1., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2014

Найдите все значения a, при которых уравнение

имеет ровно два решения.

Пусть тогда уравнение запишется в виде откуда или Значит, решения исходного уравнения — это решения одного из уравнений или

Исследуем, сколько решений имеет уравнение в зависимости от a и b. При уравнение принимает вид Это квадратное уравнение, дискриминант которого равен Таким образом, уравнение имеет два решения при одно решение при и не имеет решений при При уравнение принимает вид и имеет одно решение.

Уравнение и совпадают при то есть при В этом случае мы получаем единственное уравнение которое имеет два решения.

При других значениях a исходное уравнения имеет ровно два решения, если либо оба уравнения и имеют по одному решению, либо одно из них не имеет решений, а другое имеет два решение. При каждое из этих уравнений имеет единственное решение и эти решения различны. При других значениях a выполнено неравенство поэтому уравнение имеет два решения. А значит, уравнение не должно иметь решений. Это выполнено при то есть при и при

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при

Найдите все значения a, при которых уравнение

имеет на отрезке ровно два решения.

Пусть тогда уравнение запишется в виде откуда или Значит, решения исходного уравнения — это решения уравнений или

Исследуем, сколько решений на отрезке имеет уравнение в зависимости от b. На промежутке функция принимает каждое неотрицательное значение один раз, на промежутке функция принимает каждое значение один раз. Таким образом, уравнение имеет на отрезке два решения при и одно решение при

Уравнения и могут иметь общие решения при то есть при и При оба уравнения принимают вид и имеют два решения на отрезке При оба уравнения принимают вид и имеют одно решение на отрезке

При других значениях a исходное уравнение имеет ровно два решения на отрезке если оба уравнения и имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения на отрезке при

"оба уравнения принимают вид tgx=10"

Разве tgx может быть больше 1?

Скажите, пожалуйста, откуда получились значения t=2a+8 и t=a^2

Решили квадратное уравнение (по Виету).

Найдите все значения a, при которых уравнение

имеет ровно два решения.

Пусть тогда, используя теорему, обратную теореме Виета, получим:

Значит, исходное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда график функции имеет с горизонтальными прямыми и ровно две общие точки. Эти прямые совпадают, если

При уравнение не имеет решений. Если то при а если то при имеем:

При неограниченном увеличении значения функции стремятся к нулю, причём, для функция f является возрастающей, а при — убывающей. Эскизы графиков изображены на рисунке.

Тем самым, при должны быть выполнены неравенства откуда при должны быть выполнены неравенства откуда

Приведём авторское решение.

Пусть тогда получим:

Значит, решение исходного уравнения — это решение уравнений или

Исследуем сколько решений имеет уравнение в зависимости от и При и и то есть при левая часть определена и принимает вид

При выражение принимает по одному все значения из промежутка для и принимает по одному разу все значения из промежутка для Значит, при выражение принимает по одному разу все значения из промежутка при и принимает по одному разу все значения из промежутка при Таким образом, уравнение имеет одно решение при и не имеет решений при и При и уравнение принимает вид и либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.

Уравнение и могут иметь общие решения при то есть при При оба уравнения принимают вид и имеют одно решение.

При других значениях исходное уравнение имеет два решения, если оба уравнения имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при принадлежащем множеству

Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Запад. Вариант 1., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2014

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

имеет ровно два решения.

Пусть тогда исходное уравнение принимает вид:

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения, если оба уравнения совокупности (2) имеют по одному решению.

Для первого уравнения имеем

Для второго уравнения:

Если уравнения совокупности совпадают, то тогда, даже если каждое из них имеет по одному решению, то эти решения совпадут и исходное уравнение будет иметь не два, а одно решение. Исключим данный случай, найдём при каких значениях параметра уравнения совпадают:

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при значениях параметра

Аналоги к заданию № 505474: 505496 Все

Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Восток. Вариант 2., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2014

Почему корень уравнения получился равным 3а+3? Он должен быть равен 3а-3

Корни найдены верно.

Определите все значения параметра а при каждом из которых система

имеет ровно два решения.

Для того, чтобы данная система имела ровно два решения, уравнение (*) должно иметь корни, ровно два из которых удовлетворяют неравенству

Положим Тогда уравнение (*) принимает вид Это уравнение имеет два различных положительных корня при Таким образом, откуда Так как а то а

Неравенство при выполнено для всех поскольку левая часть неравенства больше 1, а правая меньше 1. Таким образом, система имеет ровно два решения при откуда

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке и радиусом

2) Если то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке и радиусом

Полученные окружности пересекаются в двух точках и лежащих на прямой поэтому в первом случае получаем дугу с концами в точках A и B, во втором — дугу с концами в тех же точках (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, которая проходит через точку B и угловой коэффициент которой равен a.

При прямая m проходит через точки A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При прямая m перпендикулярна прямой O₁B, угловой коэффициент которой равен значит, прямая m касается дуги в точке B и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка B), то есть исходная система имеет два решения.

При или прямая m пересекает каждую из дуг и в точке B и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.

При прямая m пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка B) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки B, то есть исходная система имеет два решения.

Данное уравнение можно переписать как \[\begin \sqrt\cdot \ln \dfrac=0\\[2ex] 3x+a>0\end \quad\Leftrightarrow\quad \begin \sqrt\cdot \ln (3x-a)=0\\ 3x+a>0\end\] Система имеет два корня:
1) \(x_1=\frac14\) , если он удовлетворяет \(3x+a>0\) и \(3x-a>0\) : \[\begin \dfrac34+a>0\\[1ex] \dfrac34-a>0\end \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac34<a<\dfrac34\]
2) \(x_2=\frac3\) , если он удовлетворяет \(3x+a>0\) и \(1-4x\geqslant 0\) : \[\begin a+1+a>0\\[1ex] 1-\dfrac43a-\dfrac43\geqslant 0\end\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac12<a\leqslant -\dfrac14\]

Рассмотрим случаи, когда данная система имеет ровно один корень. Пусть \(x_1\ne x_2\) , то есть \(a\ne -\frac14\) .
1. Пусть \(x_1=\frac14\) – единственное решение системы.
\(x_1\) будет корнем, если \(-\frac34<a<\frac34\) , \(x_2\) не будет корнем, если \(a\in \left(-\infty;-\frac12\right]\cup\left(-\frac14;+\infty\right)\) . Пересекая эти значения, а также учитывая, что \(a\ne -\frac14\) , получаем: \[a\in \left(-\dfrac34;-\dfrac12\right]\cup\left(-\dfrac14;\dfrac34\right)\] 2. Пусть \(x_2=\frac3\) – единственное решение системы.
\(x_1\) не будет корнем, если \(a\in \left(-\infty;-\frac34\right]\cup\left[\frac34;+\infty\right)\) , \(x_2\) будет корнем, если \(-\frac12<a\leqslant -\frac14\) . Пересекая эти значения, а также учитывая, что \(a\ne -\frac14\) , получаем: \[a\in \varnothing\]

Пусть \(x_1=x_2\) . Тогда \(a=-\frac14\) . Заметим, что при этом значении что \(x_1\) , что \(x_2\) являются решением, следовательно, оно нам подходит.
Итоговый ответ: \[a\in \left(-\dfrac34;-\dfrac12\right]\cup\left[-\dfrac14;\dfrac34\right)\]

Найдите все значения \(a\) , при каждом из которых уравнение \[\sqrt\cdot \ln(3x-a)=\sqrt\cdot \ln (4x+a)\]

имеет ровно один корень на отрезке \([0;1]\) .

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Уравнение можно переписать в виде: \[\sqrt\cdot \left( \ln(3x-a)-\ln (4x+a)\right)=0\] Следовательно, уравнение может иметь корни на \([0;1]\) :

1) \(x_1=\frac35\) (уже лежит в \([0;1]\) ), если он удовлетворяет \(3x-a>0\) и \(4x+a>0\) : \[\begin \dfrac95-a>0\\[2ex] \dfrac5+a>0\end\quad\Leftrightarrow\quad a\in \left(-\dfrac5;\dfrac95\right)\]

2) \(3x-a=4x+a\) , откуда \(x_2=-2a\) , если он удовлетворяет \(5x-3\geqslant 0\) , \(3x-a>0\) и \(0\leqslant x_2\leqslant 1\) : \[\begin -10a-3\geqslant 0\\ -6a-a>0\\ 0\leqslant -2a\leqslant 1\end\quad\Leftrightarrow\quad a\in \left[-\dfrac12; -\dfrac3\right]\]

Заметим, что если \(x_1=x_2\) , то есть \(a=-\frac3\) , то уравнение имеет один корень, лежащий в \([0;1]\) . Следовательно, \(a=-\frac3\) нам подходит.

I. Пусть нам походит только корень \(x_1\) . Следовательно, нужно пересечь значения \(a\in\left(-\frac5;\frac95\right)\) (когда нам подходит \(x_1\) ) со значениями \(a\in \left(-\infty;-\frac12\right)\cup \left(-\frac3;+\infty\right)\) (когда \(x_2\) нам не подходит). Получим: \[a\in \left(-\frac5; -\frac12\right)\cup\left(-\frac3;\frac95\right)\]

II. Пусть нам подходит только \(x_2\) . Тогда аналогично нужно пересечь \(a\in \left[-\frac12; -\frac3\right]\) c \(a\in \left(-\infty;-\frac5\right]\cup\left[\frac95;+\infty\right)\) : \[a\in \varnothing\]

Учитывая, что выше мы сказали, что \(a=-\frac3\) нам подходит, получаем окончательный ответ: \[a\in \left(-\frac5; -\frac12\right)\cup\left[-\frac3;\frac95\right)\]

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \[\sqrt\cdot \sin x=\sqrt\cdot \cos x\]

имеет ровно один корень на отрезке \([0;\pi]\) .

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Преобразуем уравнение: \[\sqrt\cdot (\sin x-\cos x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \begin \left[\begin\begin &x-a=0\\ &\sin x-\cos x=0 \end \end\right.\\ x-a\geqslant 0 \end\quad\Leftrightarrow\quad \begin \left[\begin\begin &x=a\\ &\mathrm\,x=1 \end \end\right.\\ x\geqslant a \end \quad\Leftrightarrow\quad \begin \left[\begin\begin &x_1=a\\ &x_2=\dfrac<\pi>4+\pi n, n\in\mathbb \end \end\right.\\ x\geqslant a \end\] Назовем решение неравенства \(x\geqslant a\) ОДЗ.
Заметим, что из серии корней \(x_2\) в отрезок \([0;\pi]\) попадает только корень \(x_2=\dfrac<\pi>4\) . Следовательно, найдем, при каких значениях \(a\) система будет иметь одно решение на \([0;\pi]\) : \[\begin \left[\begin\begin &x_1=a\\ &x_2=\dfrac<\pi>4 \end \end\right.\\ x\geqslant a \end\] Заметим, что если \(a>\pi\) , то ОДЗ пересекается с отрезком \([0;\pi]\) по пустому множеству, следовательно, система не будет иметь ни одного решения на отрезке \([0;\pi]\) . Значит, как минимум, \(a\leqslant \pi\) . Рассмотрим три случая:

1) \(0<a\leqslant \pi\) . Тогда ОДЗ: \(x\in [a;+\infty)\) . ОДЗ в пересечении с отрезком \([0;\pi]\) дает отрезок \([a;\pi]\) . Следовательно, нужно, чтобы система имела одно решение на \([a;\pi]\) . Заметим, что в этом случае \(x_1=a\) всегда попадает в \([a;\pi]\) . Значит, нужно, чтобы \(x_2=\frac<\pi>4\) не лежал на отрезке \([a;\pi]\) (то есть \(\frac<\pi>4<a\) ), либо совпадал с точкой \(a\) . Тогда система будет иметь на \([0;\pi]\) ровно один корень \(x_1=a\) . Следовательно, обобщая все вышесказанное: \[\begin 0<a\leqslant \pi\\[1ex] \dfrac<\pi>4\leqslant a \end \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac<\pi>4\leqslant a\leqslant \pi\]

2) Если \(a=0\) , то ОДЗ: \(x\in [0;+\infty)\) и система имеет два корня \(x_1=0\) и \(x_2=\frac<\pi>4\) на \([0;\pi]\) , следовательно, этот случай нам не подходит.

3) Пусть \(a<0\) . Тогда ОДЗ: \(x\in [a;+\infty)\) и ОДЗ в пересечении с отрезком \([0;\pi]\) дает отрезок \([0;\pi]\) . Тогда корень \(x_1=a\) не попадает в отрезок \([0;\pi]\) , \(x_2=\frac<\pi>4\) попадает и система имеет на этом отрезке ровно одно решение.

Таким образом, искомые \(a\) : \[a\in (-\infty;0)\cup\left[\dfrac<\pi>4;\pi\right]\]

Найдите все значения \(a\) , при каждом из которых уравнение \[\ln (3x-1)\cdot \sqrt=0\]

имеет ровно один корень на отрезке \([0;4]\) .

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Преобразуем скобку в числителе дроби: \[y^2-xy+3x-y-6=0 \quad\Leftrightarrow\quad y^2-(x+1)y+3x-6=0\] Дискриминант равен \(D=(x-5)^2\quad\Rightarrow\) \[y_1=\dfrac2=x-2\quad\text\quad y_2=\dfrac2=3.\] Таким образом, всю систему можно записать в виде: \[\begin \left[\begin\begin &y^2-(x+1)y+3x-6=0\\ &x+2=0\end\end \right.\\ 6-x>0\\ x+2\geqslant 0\\ y=-x+a\end \quad\Leftrightarrow\quad \begin \left[\begin\begin &y=x-2\\ &y=3\\ &x=-2\end\end \right.\\ -2\leqslant x<6\\ y=-x+a\end\]

Найдем значения параметра, при каждом из которых прямая \(y=-x+a\) имеет две точки пересечения с графиком системы \(\begin \left[\begin\begin &y=x-2\\ &y=3\\ &x=-2\end\end \right.\\ -2\leqslant x<6\end\)

Зеленым цветом изображен график системы, синим и черным – возможные положения прямой \(y=-x+a\) .

1) Заметим, что если прямая \(y=-x+a\) находится в положении (1) (проходит через точку \((6;4)\) пересечения \(y=x-2\) и \(x=6\) ) и выше, то она имеет только одну точку пересечения с графиком системы.
Между положениями (1) и (2) и в положении (2) (проходит через точку \((6;3)\) пересечения \(y=3\) и \(x=6\) ) прямая \(y=-x+a\) имеет две точки пересечения с графиком системы. Найдем соответствующие значения параметра.

Положение (1): \(a=10\) ;
положение (2): \(a=9\) .

Следовательно, при \(a\in[9;10)\) имеем две точки пересечения.

2) Между положениями (2) и (3) – три точки пересечения, а вот в положении (3) (проходит через точку \((5;3)\) пересечения \(y=3\) и \(y=x-2\) ) – две точки.
Положение (3): \(a=8\) .

3) Между положениями (3) и (4) – три точки пересечения, а вот в положении (4) (проходит через точку \((-2;3)\) пересечения \(y=3\) и \(x=-2\) ) – две точки.
Положение (4): \(a=1\) .

4) Между положениями (4) и (5) – две точки пересечения.
Положение (5) – прямая \(y=-x+a\) проходит через точку \((-2;-4)\) пересечения \(x=-2\) и \(y=x-2\) , следовательно, \(a=-6\) .

Следовательно, при \(a\in (-6;1)\) имеем две точки пересечения.

Собрав все подходящие значения параметра, получим: \(a\in (-6;1]\cup\\cup[9;10)\) .

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых неравенство \[|3\sin x+a^2-22|+|7\sin x+a+12|\leqslant 11\sin x+|a^2+a-20|+11\]

выполнено для всех значений \(x\) .

(ЕГЭ 2014, вторая волна, резерв)

Таким образом, можно сделать вывод, что как бы ни раскрылись модули, функция \(y(t)=11t+|a^2+a-20|-|3t+a^2-25|-|7t+a+5|\) всегда будет монотонно возрастающей.
Поэтому если рассмотреть неравенство в виде \[y(t)=11t+|a^2+a-20|-|3t+a^2-25|-|7t+a+5|\geqslant 0,\] то для того, чтобы неравенство при всех \(t\in[0;2]\) выполнялось, достаточно, чтобы график возрастающей функции \(y(t)\) был выше оси \(Ox\) . Следовательно, значение \(y(0)\) (в левой точке отрезка \([0;2]\) ) должно быть неотрицательным:

\[11\cdot 0+|a^2+a-20|-|3\cdot 0+a^2-25|-|7\cdot 0+a+5|\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad |a^2+a-20|\geqslant|a^2-25|+|a+5|\] Заметим, что \(a^2-25+a+5=a^2+a-20\) . Следовательно, данное неравенство имеет вид: \(|A+B|\geqslant |A|+|B|\) . Как известно, при всех \(A\) и \(B\) выполняется неравенство: \(|A+B|\leqslant |A|+|B|\) . Следовательно, наше неравенство выполняется тогда и только тогда, когда \[|A+B|=|A|+|B|\] Для того, чтобы модуль суммы был равен сумме модулей двух чисел \(A\) и \(B\) , хотя бы одно из них должно быть равно нулю либо они должны быть одного знака, следовательно, данное равенство равносильно \[AB\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad (a^2-25)(a+5)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad (a+5)^2(a-5)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad a\in \\cup[5;+\infty).\]

Читайте также: