Найдите расстояние между скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра если его ребра равны корень 2

Обновлено: 04.07.2024

Каждое из ребер треугольной пирамиды ABCD имеет длину 1. Точка P на ребре AB, точка Q на ребре BC, точка R на ребре CD взяты так, что Плоскость PQR пересекает прямую AD в точке S. Найти величину угла между прямыми SP и SQ.

Для начала построим сечение PQR: проведем линию QP до пересечения с прямой AC (точка E). В плоскости грани ADC соединим точки E и R: линия ER пересечет сторону AD в точке S. Соединяя точки S, R, P и Q, получаем искомое сечение.

Предварительно найдем соотношения и длины некоторых сторон.

Рассмотрим плоскость ABC. В треугольнике BQP вычислим QP по теореме косинусов:

Теперь найдем угол BPQ (на рисунке угол 1):

Тогда, из основного тригонометрического тождества:

Заметим, что как вертикальные, тогда можем найти угол AEP (на рисунке угол 2):

Вычислим синус угла 2:

По теореме синусов для треугольника APE:

Теперь рассмотрим плоскость ADC. Из треугольника CRE по теореме косинусов имеем:

Из этого же треугольника найдем угол CER (на рисунке угол 1):

Тогда, из основного тригонометрического тождества:

Найдем синус угла ASE (на рисунке угол 2):

По теореме синусов для треугольника ASE:

Для дальнейшего решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем базисные векторы: Выразим векторы и через базисные:

Теперь найдем длины этих векторов (используя то, что а также тот факт, что

Осталось вычислить скалярное произведение данных векторов:

Примечание Дмитрия Гущина.

Эту часть решения можно несколько сократить, применив теорему Менелая для тетраэдра: точки S, R, P и Q, лежащие на ребрах тетраэдра AD, DC, AB и BC соответственно, принадлежат одной плоскости тогда и только тогда, когда В нашем случае: откуда то есть

а) Докажите, что плоскость MNB₁ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра MNBB₁.

Площадь основания призмы равна а объём призмы равен

В четырёхугольной пирамиде B₁A₁C₁NM высота совпадает с высотой основания призмы A₁B₁C₁, опущенной на сторону A₁C₁, и равна Основание A₁C₁NM пирамиды B₁A₁C₁NM является трапецией, площадь которой равна 27. Значит, объём пирамиды B₁A₁C₁NM равен то есть составляет половину объёма призмы. Поэтому объёмы многогранников B₁A₁C₁NM и ABCMB₁N равны.

б) В четырёхугольной пирамиде BACNM высота совпадает с высотой основания призмы ABC, опущенной на сторону AC, и равна Основание пирамиды BACNM является трапецией, площадь которой равна 9. Объём пирамиды BACNM равен

Многогранник ABCMB₁N состоит из двух частей: BACNM и MNBB₁. Значит, объём тетраэдра MNBB₁ равен

Источник: Задания 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ — 2016. Досрочная волна. Вариант 201. Юг

как определили что высота треугольника А1В1С1 и высота призмы В1А1С1NM равны 3sqrt3?

Высота в правильном треугольнике со стороной 6

В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 6, а сторона основания AB = 4.

а) Докажите, что объем пирамиды SABC равен произведению ребра SC на площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC.

б) Найдите площадь этого сечения.

равен объёму пирамиды.

б) Пусть — SO высота пирамиды. В треугольнике SCO имеем:

Объём пирамиды SABC равен

Приравнивая два найденных значения для объёма, получаем

Аналоги к заданию № 504416: 504437 511387 Все

В правильной треугольной пирамиде SABC провели сечение плоскостью, проходящей через сторону основания AB перпендикулярно ребру SC .

а) Докажите, что площадь этого сечения относится к площади основания так же, как высота пирамиды относится к её боковому ребру.

б) Найдите площадь сечения если боковое ребро SA = 5, а сторона основания AB = 4.

равен объёму пирамиды. С другой стороны объем пирамиды SABC равен

б) Пусть SO — высота пирамиды. В треугольнике SCO имеем:

Объём пирамиды SABC равен

Приравнивая два найденных значения для объёма, получаем

Примечание Дмитрия Гущина.

По сути, решение основано на вычислении объема двумя способами: и

А разве нельзя найти поочередно стороны треугольника ABК, который является равнобедренным с основанием AB (AK=BK находящиеся через теорему Пифагора)

Затем найти высоту, проведенную через вершину К к отрезку АВ и впоследствии найти площадь треугольника самым, что ни на есть, обыденным способом?

Можно, но теорема Пифагора здесь ни при чем. Скорее уж, двумя различными способами вычисленная площадь боковой грани.

А разве тетраэдр - это не пирамида с одинаковыми ребрами? Здесь ведь ребра не одинаковы?

То, о чем Вы говорите, это правильный тетраэдр.

В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 2, а сторона основания AB = 3. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC .

На первый взгляд, правдоподобным представляется нижеприведенное неверное решение.

равен объёму пирамиды.

Пусть SO — высота пирамиды. В треугольнике SCO имеем:

Объём пирамиды SABC равен

Приравнивая два найденных значения для объёма, получаем:

Однако нетрудно проверить, что боковая грань является тупоугольным треугольником, поэтому точка K лежит на продолжении SC за точку S. А это значит, что указанного сечения не существует. Будьте внимательны.

Аналоги к заданию № 504416: 504437 511387 Все

В треугольной пирамиде SABC все ребра равны друг другу. На ребре SA взята точка M такая, что SM = MA, на ребре SB — точка N такая, что SN : SB = 1 : 3. Через точки M и N проведена плоскость, параллельная медиане AD основания ABC. Найти отношение объема треугольной пирамиды, отсекаемой от исходной проведенной плоскостью, к объему пирамиды SABC.

Для этого можно отдельно рассмотреть треугольник SBC и провести в нем дополнительный отрезок DL параллельно стороне NС. Тогда DL является средней линией для треугольника BNC, а значит, Применим теорему, обратную теореме Фалеса, для угла BSD. Из пропорциональности отрезков

заключаем, что поэтому

Таким образом получили, что MNB — искомое сечение тетраэдра, и оно отсекает от него треугольную пирамиду BMNS. Заметим, что если рассмотреть в качестве основания полученной пирамиды треугольник SMN, то высота, проведенная из точки B на плоскость SMN, совпадает с высотой пирамиды SABC. Из формулы для объема пирамиды получаем (считаем для удобства, что все ребра равны 1):

Математика необычного телевизионный урок Д. Д. Гущина на телеканале 78

В правильном тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 2, найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Проведем — перпендикуляр. По теореме Пифагора

Проведем теперь в проведем высоту По теореме о трех перпендикулярах ⟂ Следовательно, искомое расстояние — прямая

Заметим, что так как все ребра равны 2, следовательно, а тогда — середина

а) Докажите, что точка T является серединой SM.

б) Найдите расстояние между NT и SC.

а) Точка H лежит на отрезке MN. Так как NC = ND, то TC = TD. Это означает, что точка T лежит на SM. Таким образом, точки T и H лежат в плоскости SNM, перпендикулярной плоскости ABC.

б) Пусть E — основание перпендикуляра, опущенного из точки T на прямую SC. Прямые NT и TE перпендикулярны, так как NT — высота пирамиды NSCD. Поскольку отрезок TE перпендикулярен как прямой SC, так и прямой NT, его длина и есть искомое расстояние.

Прямоугольные треугольники SET и SMC подобны, следовательно, откуда

Источник: Задания 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 512 (C часть).

а) Докажите, что прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.

б) Пусть M − середина AC₁. Тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки M до прямой AB₁, поскольку прямая A₁C перпендикулярна плоскости AB₁C₁. Это расстояние равно половине высоты прямоугольного треугольника AB₁C₁, проведённой к гипотенузе, то есть

Здравствуйте. В решении нельзя применить теорему о трех перпендикулярах, так как прямая А1С не проходит через основание наклонной АВ1 точку А.

Разные формулировки есть.

В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания ABCD равна 12, боковое ребро PA ― Через вершину A проведена плоскость α, перпендикулярная прямой PC и пересекающая ребро PC в точке K.

б) Найдите расстояние между прямыми PH и BK.

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 1.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 6.

а) Докажите, что угол между прямыми AC и BC₁ равен 60°.

б) Найдите расстояние между прямыми AC и BC₁.

а) Прямые ВС₁ и AD₁ параллельны, поэтому угол между прямыми АС и ВС₁ равен углу CAD₁. Треугольник CAD₁ равносторонний, поэтому все его углы равны 60°.

б) Заметим, что прямые АС и ВС₁ содержатся в параллельных плоскостях ACD₁ и BC₁A₁. Значит, искомое расстояние равно расстоянию между этими плоскостями.

Обозначим центры треугольников ACD₁ и BC₁A₁ через точки О и О₁ соответственно. Точка D равноудалена от вершин треугольника ACD₁, поэтому проекция точки D на плоскость ACD₁ совпадает с О. Аналогично проекция точки D на плоскость BC₁A₁ совпадает с О₁, а проекции точки В₁ на плоскости ACD₁ и BC₁A₁ также совпадают с точками О и О₁ соответственно. Значит, прямая DB₁ перпендикулярна плоскостям ACD₁ и BC₁A₁ и содержит точки О и О₁.

Объем тетраэдра DACD₁ равен 36, а площадь его основания Значит, высота Аналогично Кроме того, Значит,

\(\blacktriangleright\) Скрещивающиеся прямые – это прямые, через которые нельзя провести одну плоскость.

Признак скрещивающихся прямых: если первая прямая пересекает плоскость, в которой лежит вторая прямая, в точке, не лежащей на второй прямой, то такие прямые скрещиваются.

\(\blacktriangleright\) Т.к. через одну из скрещивающихся прямых проходит ровно одна плоскость, параллельная другой прямой, то расстояние между скрещивающимися прямыми — это расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой.

Таким образом, если прямые \(a\) и \(b\) скрещиваются, то:

Шаг 1. Провести прямую \(c\parallel b\) так, чтобы прямая \(c\) пересекалась с прямой \(a\) . Плоскость \(\alpha\) , проходящая через прямые \(a\) и \(c\) , и будет плоскостью, параллельной прямой \(b\) .

Шаг 2. Из точки пересечения прямых \(a\) и \(c\) ( \(a\cap c=H\) ) опустить перпендикуляр \(HB\) на прямую \(b\) (первый способ).

В зависимости от условия задачи какой-то из этих двух способов может быть гораздо удобнее другого.

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) , ребро которого равно \(\sqrt\) , найдите расстояние между прямыми \(DB_1\) и \(CC_1\) .

Прямые \(DB_1\) и \(CC_1\) скрещиваются по признаку, т.к. прямая \(DB_1\) пересекает плоскость \((DD_1C_1)\) , в которой лежит \(CC_1\) , в точке \(D\) , не лежащей на \(CC_1\) .

Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать как расстояние между прямой \(CC_1\) и плоскостью, проходящей через \(DB_1\) параллельно \(CC_1\) . Т.к. \(DD_1\parallel CC_1\) , то плоскость \((B_1D_1D)\) параллельна \(CC_1\) .
Докажем, что \(CO\) – перпендикуляр на эту плоскость. Действительно, \(CO\perp BD\) (как диагонали квадрата) и \(CO\perp DD_1\) (т.к. ребро \(DD_1\) перпендикулярно всей плоскости \((ABC)\) ). Таким образом, \(CO\) перпендикулярен двум пересекающимся прямым из плоскости, следовательно, \(CO\perp (B_1D_1D)\) .

\(AC\) , как диагональ квадрата, равна \(AB\sqrt2\) , то есть \(AC=\sqrt\cdot \sqrt2=8\) . Тогда \(CO=\frac12\cdot AC=4\) .

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) . Найдите расстояние между прямыми \(AB_1\) и \(BC_1\) , если ребро куба равно \(a\) .

1) Заметим, что эти прямые скрещиваются по признаку, т.к. прямая \(AB_1\) пересекает плоскость \((BB_1C_1)\) , в которой лежит \(BC_1\) , в точке \(B_1\) , не лежащей на \(BC_1\) .
Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать как расстояние между прямой \(BC_1\) и плоскостью, проходящей через \(AB_1\) параллельно \(BC_1\) .

Для этого проведем \(AD_1\) — она параллельна \(BC_1\) . Следовательно, по признаку плоскость \((AB_1D_1)\parallel BC_1\) .

2) Опустим перпендикуляр \(C_1H\) на эту плоскость и докажем, что точка \(H\) упадет на продолжение отрезка \(AO\) , где \(O\) – точка пересечения диагоналей квадрата \(A_1B_1C_1D_1\) .
Действительно, т.к. по свойству квадрата \(C_1O\perp B_1D_1\) , то по теореме о трех перпендикуляр проекция \(HO\perp B_1D_1\) . Но \(\triangle AB_1D_1\) равнобедренный, следовательно, \(AO\) – медиана и высота. Значит, точка \(H\) должна лежать на прямой \(AO\) .

3) Рассмотрим плоскость \((AA_1C_1)\) .

\(\triangle AA_1O\sim \triangle OHC_1\) по двум углам ( \(\angle AA_1O=\angle OHC_1=90^\circ\) , \(\angle AOA_1=\angle HOC_1\) ). Таким образом,

По теореме Пифагора из \(\triangle AA_1O\) : \[AO=\sqrt2>=\dfrac2a.\]

Следовательно, из \((*)\) теперь можно найти перпендикуляр

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) . Найдите расстояние между прямыми \(A_1B\) и \(AC_1\) , если ребро куба равно \(\sqrt6\) .

По определению угол между скрещивающимися прямыми - это угол между одной прямой и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой. Найдем плоскость, проходящую через \(A_1B\) параллельно \(AC_1\) .

Заметим, что данные прямые являются скрещивающимися. Т.к. \(B_1C_1\perp (AA_1B_1)\) , то проекция наклонной \(AC_1\) на эту плоскость – это прямая \(AB_1\) .

Пусть \(AB_1\cap A_1B=O\) . Опустим из точки \(O\) на \(AC_1\) перпендикуляр \(OK\) и докажем, что это и есть искомое расстояние. Т.к. по определению расстояние между скрещивающимися прямыми – длина отрезка, перпендикулярного обеим прямым, то осталось доказать, что \(OK\) перпендикулярен прямой \(A_1B\) .
Действительно, проведем \(KH\parallel B_1C_1\) (следовательно, \(H\in AB_1\) ). Тогда т.к. \(B_1C_1\perp (AA_1B_1)\) , то и \(KH\perp (AA_1B_1)\) . Тогда по теореме о трех перпендикулярах (т.к. проекция \(HO\perp A_1B\) ) наклонная \(KO\perp A_1B\) , чтд.
Таким образом, \(KO\) – искомое расстояние.

Заметим, что \(\triangle AOK\sim \triangle AC_1B_1\) (по двум углам). Следовательно,

Читайте также: