Какой знак имеет sin 3п 7
Обновлено: 05.07.2024
Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент. В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.
угла α — это ордината (координата y ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
угла α — это абсцисса (координата x ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
угла α — это отношение синуса к косинусу. Или, что то же самое, отношение координаты y к координате x .
Обозначение: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .
Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:
Синим цветом обозначено положительное направление оси OY (ось ординат), красным — положительное направление оси OX (ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:
- sin α > 0, если угол α лежит в I или II координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус — это ордината (координата y ). А координата y будет положительной именно в I и II координатных четвертях;
- cos α > 0, если угол α лежит в I или IV координатной четверти. Потому что только там координата x (она же — абсцисса) будет больше нуля;
- tg α > 0, если угол α лежит в I или III координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α = y : x , поэтому он положителен лишь там, где знаки x и y совпадают. Это происходит в I координатной четверти (здесь x > 0, y > 0) и III координатной четверти ( x < 0, y < 0).
Для наглядности отметим знаки каждой тригонометрической функции — синуса, косинуса и тангенса — на отдельных «радарах». Получим следующую картинку:
Заметьте: в своих рассуждениях я ни разу не говорил о четвертой тригонометрической функции — котангенсе. Дело в том, что знаки котангенса совпадают со знаками тангенса — никаких специальных правил там нет.
Теперь предлагаю рассмотреть примеры, похожие на задачи B11 из пробного ЕГЭ по математике, который проходил 27 сентября 2011. Ведь лучший способ понять теорию — это практика. Желательно — много практики. Разумеется, условия задач были немного изменены.
- sin (3π/4);
- cos (7π/6);
- tg (5π/3);
- sin (3π/4) · cos (5π/6);
- cos (2π/3) · tg (π/4);
- sin (5π/6) · cos (7π/4);
- tg (3π/4) · cos (5π/3);
- ctg (4π/3) · tg (π/6).
План действий такой: сначала переводим все углы из радианной меры в градусную (π → 180°), а затем смотрим в какой координатной четверти лежит полученное число. Зная четверти, мы легко найдем знаки — по только что описанным правилам. Имеем:
- sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Поскольку 135° ∈ [90°; 180°], это угол из II координатной четверти. Но синус во II четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ [180°; 270°], это угол из III координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны. Следовательно, cos (7π/6) < 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Поскольку 300° ∈ [270°; 360°], мы находимся в IV четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) < 0;
- sin (3π/4) · cos (5π/6) = sin (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/6) = sin 135° · cos 150°. Разберемся с синусом: т.к. 135° ∈ [90°; 180°], это II четверть, в которой синусы положительны, т.е. sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ [90°; 180°] — снова II четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) < 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) · tg (π/4) = cos (2 · 180°/3) · tg (180°/4) = cos 120° · tg 45°. Смотрим на косинус: 120° ∈ [90°; 180°] — это II координатная четверть, поэтому cos (2π/3) < 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ [0°; 90°] — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) < 0;
- sin (5π/6) · cos (7π/4) = sin (5 · 180°/6) · cos (7 · 180°/4) = sin 150° · cos 315°. Работаем с синусом: поскольку 150° ∈ [90°; 180°], речь идет о II координатной четверти, где синусы положительны. Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ [270°; 360°] — это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел — такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°. Но угол 135° ∈ [90°; 180°] — это II четверть, т.е. tg (3π/4) < 0. Аналогично, угол 300° ∈ [270°; 360°] — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0. Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) < 0;
- ctg (4π/3) · tg (π/6) = ctg (4 · 180°/3) · tg (180°/6) = ctg 240° · tg 30°. Смотрим на аргумент котангенса: 240° ∈ [180°; 270°] — это III координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ [0; 90°] — это I координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения — их произведение тоже будет положительным. Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.
В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать — именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.
Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].
Поскольку sin 2 α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8. Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] — это II координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 — неопределенность со знаками устранена.
Задача. Найдите cos α, если cos 2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].
Действуем аналогично, т.е. извлекаем квадратный корень: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о III координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.
Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,25 и α ∈ [3π/2; 2π].
Имеем: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Снова смотрим на угол: α ∈ [3π/2; 2π] — это IV координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.
Задача. Найдите tg α, если tg 2 α = 9 и α ∈ [0; π/2].
Все то же самое, только для тангенса. Извлекаем квадратный корень: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ [0; π/2] — это I координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!
Объясните , как находить ЗНАК ЧИСЛА : а) Sin 3π / 7 cos 9π / 8 tg 2, 3π.
Б) Sin 1 cos 3 tg 5.
Знак определяется по четвертям(координатная плоскость xoy делится на 4 части(справа вверху - 1 часть, слева вверху - 2, снизу слева - 3, справа внизу - 4)
14 = 180 градусов
sin 3P / 7 = (3 * 180) / 7 = 77.
14(смотришь в какой четрерти этот угол и какой знак там имеют х(cos) или у(sin), в первой четверти у всех + ) = +
3P (тангенс в1 четвери = + , 2 = - , 3 = + , 4 = - (если не ошибаюсь) = +
Преобразуйте выражение в произведение :а) sin 5альфа - sin 6альфа - sin 7альфа + sin 8альфа =б)cos 3альфа - cos 4альфа - cos 5альфа + cos 6альфа =в)sin 2альфа + cos 4альфа - sin 6альфа =?
Преобразуйте выражение в произведение :
а) sin 5альфа - sin 6альфа - sin 7альфа + sin 8альфа =
б)cos 3альфа - cos 4альфа - cos 5альфа + cos 6альфа =
в)sin 2альфа + cos 4альфа - sin 6альфа =.
1) cos 3a cos a – cos 7a cos 5a ; 3) sin 4B cos 3B – sin 5B cos 2B ; 2) cos 3a cos a – sin 3a sin a ; 4) sin 4B cos 3B – cos 4B sin 3B?
1) cos 3a cos a – cos 7a cos 5a ; 3) sin 4B cos 3B – sin 5B cos 2B ; 2) cos 3a cos a – sin 3a sin a ; 4) sin 4B cos 3B – cos 4B sin 3B.
Используй формулу sin(x)-sin(y) = 2·sin(½(x-y))·cos(½(x+y)) и у тебя получится!
sin(3π/7)-sin(sin 2п/7) = 2·sin(π/ 14)·cos(5π/ 14)>0
Или, заглядываешь в учебник и неожиданно узнаёшь, что синус возрастает от 0 до п/2 (п/2> 3π/7> 2п/7). Смекаешь, что из "бОльшего вычесть меньшее" будет положительно.
Оченно просто! Оба числа 2/7 и 3/7 меньше 1/2, значит, оба угла в первой четверти. Чем больше угол, тем больше синус, первого угла больше, тогда разность положительна
Определения надо знать, чтобы понимать их очевидные следствия.
На промежутке [-pi/2, pi/2] синус является строго возрастающей функцией - вспомни определение синуса через единичную окружность.
В общем, ни как до меня не доходит, как же определить в какой четверти находится, например: sin 4п/7, cos 3, tg 6п/7, ctg 10 п/7
Таблицу знаков я знаю, но вот не могу понять как посчитать ( по какой формуле или как вообще) sin 4п/7, cos 3, tg 6п/7, ctg 10 п/7 (это просто примеры)
Например мне нужно определить в какой четверти находится sin 4п/7 как же это посчитать чтобы определить четверть, ну в короче вообще ни чо не пойму.
Помогите кто знает, более подробным описанием действий
Короче это высчитывается примерно. синус 4п/7 находится в 3 четверти. п=180 градусам, следовательно
4*180/7 примерно равняется 100 градусов. и получается так 90 Ахон Мудрец (19712) 10 лет назад
Да надо просто ОЦЕНИТЬ аргумент. Например
п/2<3<п => вторая четверть => cos3<0,
п<10п/7<п+3/7п<п+п/2 => третья четверть => ctg 10 п/7 >0
И т. д.
Определить знак выражения : А) sin 300 cos 400 Б) sin ( - 1) cos ( - 2)?
Определить знак выражения : А) sin 300 cos 400 Б) sin ( - 1) cos ( - 2).
Объясните как доказать тождество : sin a cos a cos 2a = 1 \ 2 sin 4a?
Объясните как доказать тождество : sin a cos a cos 2a = 1 \ 2 sin 4a.
Объясните, как найти знак числа : sin 10 cos( - 12) sin( - 15) cos 8?
Объясните, как найти знак числа : sin 10 cos( - 12) sin( - 15) cos 8.
Упростите выражения : а) 1 - sin²α б) 1 - cos²α в) sin²α - 1 г) cos²α а) (1 + sin α)(1 - sin α) б)(cos α - 1)(1 + cos α) в)cos²α - sin²α + 1 г) 1 + sin²α - cos²α а) 1 - sin²α - cos²α б) sin ^ 4 α - co?
Упростите выражения : а) 1 - sin²α б) 1 - cos²α в) sin²α - 1 г) cos²α а) (1 + sin α)(1 - sin α) б)(cos α - 1)(1 + cos α) в)cos²α - sin²α + 1 г) 1 + sin²α - cos²α а) 1 - sin²α - cos²α б) sin ^ 4 α - cos ^ 4 α в) sin ^ 4 α - cos ^ 4 α - sin² α + cos²α г) (sin α + cos α)² + (sin α - cos α)².
Sin 5x + sin 10x + sin 15x = cos 5x + cos 10x + cos 15x?
Sin 5x + sin 10x + sin 15x = cos 5x + cos 10x + cos 15x.
Вычислитеа) sin 28градусов cos 32градуса + sin 32градуса cos 28градусовб) sin 39градусов cos 6градусов + sin 6градусов cos 39градусов?
а) sin 28градусов cos 32градуса + sin 32градуса cos 28градусов
б) sin 39градусов cos 6градусов + sin 6градусов cos 39градусов.
Определить знак числа sin 5 и cos ( - 6 )?
Определить знак числа sin 5 и cos ( - 6 ).
Решите упражнение?
Алгебра 10 класс, профильный уровень 24.
10 sin 5x cos 3x + cos 5x sin 3x = sin 8x б) cos 5x cos 3x - sin 5x sin 3x = cos 8x в) sin 7x cos 4x - cos 7x sin 4x = sin 3x г) cos 2x cos 12x + sin 2x sin 12x = cos 10x.
Читайте также: