Какое значение не может принимать sin
Обновлено: 07.07.2024
У многих учеников возникают проблемы с этой темой, в основном, из-за непонимания общего смысла тригонометрии. В этой статье я постараюсь помочь вам разобраться зачем нужна тригонометрия и расскажу про лайфхак, чтобы не учить значения синуса и косинуса.
К моменту начала изучения тригонометрии Вы, скорее всего, уже знаете: определение прямоугольного треугольника и окружности — этого вполне достаточно для понимания темы.
*прошу заметить, что некоторые формулировки могут не соответствовать действительности - это сделано для того, чтобы вы лучше запомнили основы. Точные понятия и определения расскажет ваш учитель математики.
Что такое синус и косинус?
Изначально не было никакой окружности. Изучая треугольники, древние ученые выражали углы через соотношение сторон. То-есть синусы и косинусы появились раньше градусной меры углов.
Например, таким соотношением мог выражаться угол A (угол C прямой). Например, таким соотношением мог выражаться угол A (угол C прямой).Поскольку угол может быть найден через разные соотношения сторон, решили дать им названия: синус и косинус.
Синус - это отношение стороны треугольника, лежащей напротив данного угла, к гипотенузе (большей стороне).
Косинус - это отношение прилежащей стороны к гипотенузе.
Думаю не ошибусь, если скажу, что теорема Пифагора - самая полезная теорема в геометрии. Давайте применим её для данного треугольника:
Как почему? По определению функции синус.
Вообще, синус, например, в школе определяют так (примерно так же он и возник в математике исторически) :
Рисуют окружность единичного радиуса в начале координат. Потом откладывают определенный угол от оси х, и смотрят где эта прямая пересекает нашу окружность. В этой точке берут значение координаты у (координата х, кстати, это косинус этого угла) , значение этой координаты и называют синусом соответсвующего угла. Понятно, что на единичной окружности нет точек со значением у больше 1 и меньше -1, поэтому какой бы угол мы не взяли, мы всегда остаемся на этой окружности, поэтому не можем выйти за пределы от -1 до 1.
А отношение катета к гипотенузе это скорее, свойство прямоугольного треугольника, а не определение функции синуса.
Почему это? В военное время значение синуса может достигать четырех (с) анекдот про военных. :-)
Потому что синус - это катет деленый на гипотенузу. Катет всегда меньше гипотенузы, а значит их частное не может быть больше единицы.
На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = sin х, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.
Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Тригонометрия»
С помощью формул, указанных выше, можно найти синус и косинус острого угла. Но нужно научиться вычислять синус и косинус угла произвольной величины. Прямоугольный треугольник не даёт такой возможности (тупого угла, например, в нём быть не может); следовательно, нужно более общее определение синуса и косинуса, содержащее указанные формулы как частный случай.
На помощь приходит тригонометрическая окружность. Пусть дан некоторый угол; ему отвечает одноимённая точка на тригонометрической окружности.
Рис. 2. Тригонометрическое определение синуса и косинуса
Косинус угла - это абсцисса точки. Синус угла - это ордината точки.
На рис. 2 угол взят острым, и легко понять, что данное определение совпадает с общим геометрическим определением. В самом деле, мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой O и острым углом. Прилежащий катет этого треугольника есть cos (сравните с рис. 1) и одновременно абсцисса точки ; противолежащий катет есть sin (как на рис. 1) и одновременно ордината точки.
Но теперь мы уже не стеснены первой четвертью и получаем возможность распространить данное определение на любой угол . На рис. 3 показано, что такое синус и косинус угла во второй, третьей и четвёртой четвертях.
На этом уроке мы расширим понятие тригонометрических функций с острых углов на произвольные, используя так называемую тригонометрическую окружность. Также мы докажем основные тригонометрические тождества, которые позволяют вычислять значения одних тригонометрических функций по значениям других. Кроме того, мы сформулируем и докажем две теоремы, в которых фигурируют тригонометрические функции и которые позволят нам вычислять значения недостающих элементов треугольника (сторон и/или углов).
Читайте также: