Подставляем точку $x=0$ в предел и получаем неопределенность.
Замечаем под пределом две функции, для которых можно использовать формулы эквивалентных бесконечно малых функций. Но перед этим проверим, что аргументы их стремятся к нулю.
$$ \sin 0^2 = \sin 0 = 0 $$ $$ \arcsin 0 = 0 $$
Значит для нашей задачи получаем следующие замены.
$$ \sin x^2 \sim x^2 $$ $$ \arcsin x \sim x $$
Подставим эквивалентности в предел, чтобы вычислить ответ.
Сокращаем знаменатель и подставляем в оставшееся выражение под числителем $x=0$.
$$ = \lim_\limits x^2 = 0^2 = 0 $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
В пределе получаем неопределенность ноль делить на ноль $[\frac]$. Замечаем, что числитель похож на формулу из таблицы эквивалентности пределов. Подставим в него точку $x=0$.
$$ 1- \cos (4 \cdot 0) = 1-\cos 0 = 1 - 1 = 0 $$
Получили, что числитель равен нулю при $x=0$, а это значит допустима замена на бесконечно малую функцию.
Возвращаемся к пределу, подставляя в него полученное выражение для числителя.
Подставив $x=1$ получаем неопределенность $[ \frac ] $. Замечаем, что в числителе присутствует синус, который есть в таблице эквивалентностей. По необходимому условию аргумент синуса должен стремиться к нулю, чтобы применить формулу эквивалентности. Проверим это подставив $x=1$ в него.
$$ \sin (1-1) = \sin 0 = 0 $$
Проверка показала, что формулу можно применить, так как аргумент равен нулю.
Применяя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ для знаменателя упрощаем его.
Математикам не чужда некая романтичность, иначе почему два хоть и важных предела получили наименование "замечательных". Точного обоснования именно такого их названия я не нашел, однако, стоит отметить, что с мнемонической точки зрения - определения отличные, запоминаются на уровне подсознания. Посмотрим, что такого примечательного в этих пределах. Дополнительно заинтригую тем, что есть как минимум 5 замечательных пределов.
Краткий ликбез по пределам
Предел - одно из основных понятий математического анализа. Отличают пределы рядов и функций (мы будем рассматривать функции далее).
На рисунке выше f(x) - обычная парабола, не имеющая пределов на числовой оси, а вот g(x) - показательная функция с основание меньшим единицы, ее предел при x , стремящимся к плюс бесконечности равен 0.
Читается так: чему равен предел функции f(x) при x, стремящимся к a.
Читается так: чему равен предел функции f(x) при x, стремящимся к a.
Допустим решим такой простой пример для понимания:
Надпись под пределом фактически означает, что вместо переменной x необходимо подставить в выражение -2. Подставляем и получаем ответ : -9. Думаю теперь можно переходить к основному содержанию.
Первый замечательный предел, он же тригонометрический
Геометрическое доказательство здесь опустим. Просто понимайте, что с уменьшением угла (цифра 1 в кружочке), его синус тоже будет уменьшаться (цифра 2 в кружочке). В какой-то момент времени и синус и угол будут невероятно близки к нулю, НО не предел их отношения, неукоснительно старающийся быть равным единице. Въедливый читатель воскликнет: а как же размерности? Ведь синус безразмерен, а угол измеряется в градусах! Отвечу: угол выражается в радианах, который считается безразмерной единицей. Вспомнить, что такое радиан (в конце статьи).
Кстати, а Вы знаете, что кроме косинуса, синуса, тангенса и котангенса есть еще много неизвестных широкому кругу людей функций? Читайте в моем материале про редкие тригонометрические функции .
Существует ряд следствий из первого замечательного предела
При решении задач с помощью первого замечательного предела следует помнить, что необходимо чтобы:
а) в числителе под синусом и в знаменателе были одинаковые выражения. В ином случае необходимо преобразовывать выражение к такому виду.
б) неопределенность имела вид [0/0]. Это значит, что если отдельно взять числитель и знаменатель, они оба будут стремиться к нулю.
Пример 1. Используем еще одно следствие из первого замечательного предела
Здесь и далее в квадратных скобках я пишу правило, которое будет использоваться для дальнейшего преобразования предела. Хоть это и кажется неправильно с математической точки зрения, однако способствует удобству восприятия решений.
Главная задача в этом примере - привести значения в знаменателе и в числителе к однообразному виду, что мы и делаем умножая их на 1/2.
Воспользуемся определением тангенса, а также тем фактом, что при аргументе, стремящимся к нулю, косинус этого аргумента стремится к 1. В конце получаем деление единицы на бесконечно малую величину, что приводит к плюс бесконечности в ответе.
Здесь используем знание тригонометрических формул двойного угла. В данном случае здесь 2 "полуторных угла (1,5х) ". Сводим к первому замечательному пределу, а в конце узнаем, что синус бесконечно малой величины стремится к нулю. Ответ готов!
Последний пример на самостоятельное устное решение. Пишите его в комментариях!
Во-второй части саги о замечательных пределах, поговорим о пределе под номером 2.
Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.
Первый замечательный предел часто применяется для вычисления пределов содержащих синус, арксинус, тангенс, арктангенс и получающихся при них неопределенностей ноль делить на ноль.
Формула
Формула первого замечательного предела имеет вид: $$ \lim_ \frac = 1 $$
Замечаем, что при $ \alpha\to 0 $ получается $ \sin\alpha \to 0 $, тем самым в числетеле и в знаменателе имеем нули. Таким образом формула первого замечательного предела нужна для раскрытия неопределенностей $ \frac $.
Для применения формулы необходимо, чтобы были соблюдены два условия:
- Выражения, содержащиеся в синусе и знаменателе дроби совпадают
- Выражения, стоящие в синусе и знаменателе дроби стремятся к нулю
Внимание! $ \lim_ \frac \neq 1 $ Хотя выражения под синусом и в знаменателе одинаковые, однако $ 2x^2+1 = 1 $, при $ x\to 0 $. Не выполнено второе условие, поэтому применять формулу НЕЛЬЗЯ!
Следствия
Достаточно редко в задания можно увидеть чистый первый замечательный предел, в котором можно сразу было бы записать ответ. На практике всё немного сложнее выглядит, но для таких случаев будет полезно знать следствия первого замечательного предела. Благодаря им можно быстро вычислить нужные пределы.
Примеры решений
Рассмотрим первый замечательный предел, примеры решения которого на вычисление пределов содержащих тригонометрические функции и неопределенность $ \bigg[\frac\bigg] $
Рассмотрим предел и заметим, что в нём присутствует синус. Далее подставим $ x = 0 $ в числитель и знаменатель и получим неопределенность нуль делить на нуль: $$ \lim_ \frac = \frac $$ Уже два признака того, что нужно применять замечательный предел, но есть небольшой нюанс: сразу применить формулу мы не сможем, так как выражение под знаком синуса отличается от выражения стоящего в знаменателе. А нам нужно, чтобы они были равны. Поэтому с помощью элементарных преобразований числителя мы превратим его в $ 2x $. Для этого мы вынесем двойку из знаменателя дроби отдельным множителем. Выглядит это так: $$ \lim_ \frac = \lim_ \frac = $$ $$ = \frac \lim_ \frac = \frac\cdot 1 = \frac $$ Обратите внимание, что в конце $ \lim_ \frac = 1 $ получилось по формуле.
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Как всегда сначала нужно узнать тип неопределенности. Если она нуль делить на нуль, то обращаем внимание на наличие синуса: $$ \lim_ \frac = \frac = $$ Данная неопределенность позволяет воспользоваться формулой первого замечательного предела, но выражение из знаменателя не равно аргументу синуса? Поэтом "в лоб" применить формулу нельзя. Необходимо умножить и разделить дробь на аргумент синуса: $$ = \lim_ \frac = $$ Теперь по свойствам пределов расписываем: $$ = \lim_ \frac\cdot \lim_ \frac = $$ Второй предел как раз подходит под формулу и равен единице: $$ = \lim_ \frac\cdot 1 = \lim_ \frac = $$ Снова подставляем $ x = 0 $ в дробь и получаем неопределенность $ \frac $. Для её устранения достоточно вынести за скобки $ x $ и сократить на него: $$ = \lim_ \frac = \lim_ \frac = $$ $$ = \frac = \frac = 1 $$
Подставляя $ x = 3 $ в аргумент синуса обращаем внимание на то, что сам аргумент стремится к нулю, как и синус: $$ \bigg(\frac\bigg) \to 0, \text < при >x\to 3 $$
Выполняем решение, используя первый замечательный предел: $$ \lim_ \frac>> = 1$$
Вычисление начнём с подстановки $ x=0 $. В результате получаем неопределенность $ \frac $. Предел содержит синус и тангенс, что намекает на возможное развитие ситуации с использованием формулы первого замечательного предела. Преобразуем числитель и знаменатель дроби под формулу и следствие:
Теперь видим в числителе и знаменателе появились выражения подходящие под формулу и следствия. Аргумент синуса и аргумент тангенса совпадают для соответствующих знаменателей
В статье: "Первый замечательный предел, примеры решения" было рассказано о случаях, в которых целесообразно использовать данную формулу и её следствия.
![Применение эквивалентных функций при решении пределов]()
Применение эквивалентных функций позволяет упростить вычисление пределов. Если нам нужно вычислить предел дроби, то мы можем заменить множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями и вычислять предел от более простого выражения. Подчеркнем, что речь идет именно о множителях в дробях и произведениях. Замена эквивалентными функциями в других выражениях, например в суммах, может привести к неправильному результату. Однако, ошибки не будет, если выразить любую функцию в виде суммы эквивалентной ей функции и о малого (см. пример ⇓).
Все связанные с этим определения и теоремы приводятся на странице «О большое и о малое. Сравнение функций». Напомним некоторые из них.
Применяемые определения и теоремы
Определение эквивалентных функций
Функции f и g называются эквивалентными (асимптотически равными) при :
при ,
если на некоторой проколотой окрестности точки ,
при , причем
.
Если при , то ;
если , то .
При этом функцию называют главной частью при . См. теорему о связи эквивалентных функций с о малым
Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного
Если, при , и и существует предел
, то существует и предел
.
Доказательство
Отметим часто применяемое следствие этой теоремы. Пусть мы имеем частное, составленное из конечного произведения функций: . Тогда, при вычислении предела, эти функции можно заменить на эквивалентные:
,
где . Знак равенства означает, что если существует один из этих пределов, то существует и равный ему второй. Если не существует один из пределов, то не существует и второй.
Таблица эквивалентных функций
Далее приводится таблица функций, эквивалентных при . Здесь t может быть как переменной, так и бесконечно малой функцией при : ; .
| Эквивалентность при | Равенство при |
Предостережение
Как указывалось в самом начале, производить замену функций эквивалентными можно только в множителях дробей и произведений, предел которых мы хотим найти. В других выражениях, например в суммах, делать такую замену нельзя.
В качестве примера рассмотрим следующий предел:
.
При . Но если заменить в числителе на x , то получим ошибку:
.
Ошибки не будет, если выразить синус через эквивалентную функцию и о малое, :
.
Поскольку и , то мы снова получили неопределенность 0/0 . Это указывает на то, что для вычисления этого предела применение эквивалентной функции не достаточно. Нужно применить другой метод.
Примеры
Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов, упрощая вычисления с помощью эквивалентных функций.
⇓, ⇓, ⇓, ⇓.
Пример 1
Из таблицы эквивалентных функций ⇑ имеем:
. Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.
.
Пример 2
Из таблицы эквивалентных функций ⇑ находим:
.
Преобразуем квадрат логарифма:
.
Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.
.
Пример 3
Здесь мы имеем неопределенность вида один в степени бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0 . Для этого воспользуемся тем, что экспонента и натуральный логарифм являются взаимно обратными функциями.
.
Теперь в показателе экспоненты у нас неопределенность вида 0/0 .
Вычисляем предел:
.
Поскольку у нас дробь, то заменим некоторые множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями, пользуясь приведенной выше таблицей ⇑.
;
;
.
Поскольку экспонента непрерывна для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
.
Пример 4
При . Выясним, к чему стремится . Поскольку здесь дробь, то заменим логарифм эквивалентной функцией: . Тогда
. Таким образом, мы имеем неопределенность вида ∞–∞ .
Преобразуем ее к неопределенности вида 0/0 . Для этого приводим дроби к общему знаменателю.
.
Здесь мы также воспользовались формулой . После преобразований, наш предел принимает следующий вид:
.
В знаменателе мы сразу можем заменить натуральный логарифм эквивалентной функцией, как это сделали выше:
.
В числителе имеется произведение двух множителей, каждый из которых тоже можно заменить эквивалентной функцией и, таким образом, упростить вычисления. В качестве эквивалентных, попробуем найти степенные функции:
.
Тогда . Считаем, что . Раскрываем неопределенность по правилу Лопиталя.
.
Если положить , то . Тогда
.
Тот же результат можно получить, применяя разложение в ряд Тейлора при :
.
Отсюда .
Найдем эквивалентную функцию для второго множителя, используя разложение в ряд Тейлора при :
.
Отсюда .
Теперь заменим множители эквивалентными функциями:
.
Примечание. Заметим, что делать замену функций на эквивалентные можно, только если функция, от которой ищется предел, является дробью или произведением. Тогда часть множителей в числителе или знаменателе можно заменить эквивалентными функциями. Так, если бы мы с самого начала заменили \ln (1+x) на x, то получили бы ошибку.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.
Читайте также:
