Функции y sin x y cos x

Обновлено: 01.07.2024

Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики:

1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями

координат; 6) промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания * ;8) наибольшее и наименьшее

З а м е ч а н и е. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох

(то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.

Напомним, что значение синуса — это ордина-

та соответствующей точки единичной окружности

(рис. 79). Поскольку ординату можно найти для

любой точки единичной окружности (в силу того,

что через любую точку окружности всегда можно

провести единственную прямую, перпендикуляр-

ную оси ординат), то область определения функции

y = sin x — все действительные числа. Это можно за-

писать так: D (sin x) = R.

Для точек единичной окружности ординаты нахо-

дятся в промежутке [–1; 1] и принимают все значения

от –1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [–1; 1]

оси ординат (который является диаметром единичной

окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди-

нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди-

нату. Таким образом, для функции y = sin x область значений: y ∈ [–1; 1].

Это можно записать так: E (sin x) = [–1; 1].

Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это значение достигается только тогда, когда

соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при

Наименьшее значение функции sin x равно минус единице. Это значение

достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, то есть

при

Как было показано в § 13, синус — нечетная функция: sin(-x)= - sin x,

поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

В § 13 было обосновано также, что синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом

T = 2π: sin (x + 2π) = sin x , таким образом, через промежутки длиной 2π вид графика функции sin x повторя-

ется. Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной 2 π , а

потом полученную линию парал лельно перенести вправо и влево вдоль оси Ox на расстояние kT = 2πk , где

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат,

напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда соответствующее значение

y = sin 0 = 0, то есть график функции y = sin x проходит через начало координат.

На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при

которых sin x, то есть ордината соответствующей точки единичной окруж

ности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж-

ности будут выбраны точки C или D, то есть при x = πk, k ∈ Z (см. рис. 79).

Промежутки знакопостоянства . Как было обосновано в § 13, значения

функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки

единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 80). Таким

образом, sin x > 0 при всех x ∈ (0; π), а также, учитывая период, при всех

Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую-

щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто-

му sin x < 0 при x ∈ (π + 2πk; 2π + 2πk), k ∈ Z.

Промежутки возрастания и убывания

Учитывая периодичность функции sin x с периодом T = 2π, достаточно

исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной

2π, например на промежутке

то при увеличении аргумента x (x ₂ > x ₁ ) ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть

sin x ₂ > sin x ₁ ), следовательно, на этом промежутке функция sin x возрастает. Учитывая периодичность функции sin x,

делаем вывод, что она такж е возрастает на каждом из промежутков

Если x ∈ (рис. 81, б), то при увеличении аргумента x (x ₂ > x ₁ ) ордината соответствующей точки единичной

окружности уменьшается (то есть sin x ₂ < sin x ₁ ), таким образом, на этом промежутке функция sin x убывает. Учитывая

периодичность функции sin x, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции y = sin x. Учитывая периодичность этой

функции (с периодом 2π), д о статочно сначала построить график на любом промежутке длиной 2π, на пример на

промежутке [–π; π]. Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината

соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 82 показано построение графика функции y = sin x на

промежутке [0; π]. Учитывая нечетность функции sin x (ее график симметричен относительно начала координат), для

построения графика на промежутке [–π; 0] отображаем полученную кривую симметрич но относительно начала координат

Поскольку мы построили график на

промежутке длиной 2π, то, учитывая

периодичность синуса (с периодом 2π),

повторяем вид графика на каждом про-

межутке длиной 2π (то есть переносим па-

раллельно график вдоль оси Ох на 2πk,

где k — целое число).

Получаем график, который называется

З а м е ч а н и е. Тригонометрические функции широко применяются в ма тематике, физике и технике. Например,

множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п.,

описываются функцией, которая задается формулой y = A sin (ωх + φ). Та кие процессы называют гармоническими

колебаниями. График функции y = A sin (ωx + φ) можно получить из синусоиды y = sin х сжатием или растяжением ее вдоль

координатных осей и параллельным пере носом вдоль оси Ох. Чаще всего гармоническое колебание является функцией

времени t. Тогда оно задается формулой y = A sin (ωt + φ), где А — амплитуда колебания, ω — частота, φ — начальная

фаза,

14.2. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = cos x И ЕЕ ГРАФИК

Объяснение и обоснование

Напомним, что значение косинуса — это абсцис-

са соответствующей точки единичной окружности

(рис. 85). Поскольку абсциссу можно найти для лю-

бой точки единичной окружности (в силу того, что

через любую точку окружности, всегда можно про-

вести единственную прямую, перпендикулярную оси

абсцисс), то область определения функции y = cos x —

все действительные числа. Это можно записать так:

D (cos x) = R.

Для точек единичной окружности абсциссы нахо-

дятся в промежутке [–1; 1] и принимают все значе-

ния от –1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [–1; 1] оси абсцисс (который является диаметром единичной

всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить

точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следователь но, область значений функции y = cos x:

y ∈ [–1; 1]. Это можно записать так: E (cos x) = [–1; 1]. Как видим, наибольшее значение функции cos x равно единице. Это

зна чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при

x = 2πk, k ∈ Z. Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда

соответствующей точкой единичной окруж ности является точка B, то есть при x = π + 2πk, k ∈ Z.

Как было показано в § 13, косинус — четная функция : cos (–x) = cos x, поэтому ее график симметричен относительно оси

Оу. В § 13 было обосновано также, что косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом

T = 2π: cos (x + 2π) = cos x. Таким об разом, через промежутки длиной 2π вид графика функции cos x повторяется.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат , напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда

соответствующее значение y = cos 0 = 1. На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при

которых cos x, то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только

тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при

Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения

функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки

единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 86). Следова-

тельно, cos x > 0 при x ∈ (-П/2; П/2) а также, учитывая период, при всех

Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству-

ющей точки единичной окружности отрицательна) во ІІ и ІІІ четвертях,

поэтому cos x < 0 при x ∈

Промежутки возрастания и убывания

Учитывая периодичность функции cos x (T = 2π), достаточно исследовать

ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной 2π, например

на промежутке [0; 2π].

Если x ∈ [0; π] (рис. 87, а), то при увеличении аргумента x (x ₂ > x ₁ ) абсцисса соответствующей точки единичной

окружности уменьшается (то есть cos x ₂ <cos x ₁ ), следовательно, на этом промежутке функция cos x убывает. Учитывая

периодичность функции cos x, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков [2πk; π + 2πk], k ∈ Z.

Если x ∈ [π; 2π] (рис. 87, б), то при увеличении аргумента x (x ₂ > x ₁ ) аб-

сцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то

есть cos x ₂ >cos x ₁ ), таким образом, на этом промежутке функция cos x

возрастает. Учитывая периодичность функции cos x, делаем вывод, что

она возрастает также на каждом из промежутков [π + 2πk; 2π + 2πk], k ∈ Z.

Проведенное исследование позволяет построить график функции y = cos x

аналогично тому, как был построен график функ-

ции y = sin x. Но график функции у = cos x можно

также получить с помощью геометрических преоб-

разований графика функции у = sin х, используя

Эту формулу можно обосновать, например, так.

Рассмотрим единичную окружность (рис. 88), отметим на ней точки

Область определения функции y = sin x составляет множество … чисел.

2) ни чётная, ни нечётная;

Отрезок / отрезки, на котором / которых функция y = sin x возрастает:

2) ограничена только снизу;

3) не ограничена;

4) ограничена только сверху.

Весь материал - в документе.

Содержимое разработки

Тест по теме:

«Функции y = cos x, y = sin x, их графики и свойства»

Область определения функции y = sin x составляет множество … чисел.

Ответ: _____________________

Функция y = sin x:

ни чётная, ни нечётная;

Ответ: __________

Отрезок / отрезки, на котором / которых функция y = sin x возрастает:

;

Ответ: __________

Отрезок / отрезки, на котором / которых функция y = sin x убывает:

;

[];

Ответ: __________

Функция y = sin x:

ограничена только снизу;

ограничена только сверху.

Ответ: __________

В точках вида t = + 2 функция y = sin x достигает своего … значения.

Ответ: __________

Основной период функции y = sin x равен … .

Ответ: __________

Функция y = sin x:

Ответ: __________

Область значений функции y = sin x – это отрезок … .

Ответ: _____________________

Отрезок, на котором функция y = sin x выпукла вниз:

;

Ответ: __________

Область определения функции y = cos x составляет множество … чисел.

Ответ: _____________________

Функция y = cos x:

ни чётная, ни нечётная;

Ответ: __________

Отрезок / отрезки, на котором / которых функция y = cos x возрастает:

();

(;

Ответ: __________

Отрезок / отрезки, на котором / которых функция y = cos x убывает:

(

[0;

; ;

;

−2.

Ответ: __________

Функция y = cos x:

ограничена только сверху;

ограничена только снизу;

Ответ: __________

В точках вида t = + 2 функция y = cos x достигает своего … значения.

Ответ: _____________________

Основной период функции y = cos x равен … .

Ответ: __________

Функция y = cos x:

Ответ: __________

Область значений функции y = cos x – это отрезок … .

Ответ: __________

Отрезок, на котором функция y = cos x выпукла вверх:

;

Область определения функции y = sin x составляет множество … чисел.

2) ни чётная, ни нечётная;

Отрезок / отрезки, на котором / которых функция y = sin x возрастает:

2) ограничена только снизу;

3) не ограничена;

4) ограничена только сверху.

Весь материал - в документе.

Содержимое разработки

Тест по теме:

«Функции y = cos x, y = sin x, их графики и свойства»

Область определения функции y = sin x составляет множество … чисел.

Ответ: _____________________

Функция y = sin x:

ни чётная, ни нечётная;

Ответ: __________

Отрезок / отрезки, на котором / которых функция y = sin x возрастает:

;

Ответ: __________

Отрезок / отрезки, на котором / которых функция y = sin x убывает:

;

[];

Ответ: __________

Функция y = sin x:

ограничена только снизу;

ограничена только сверху.

Ответ: __________

В точках вида t = + 2 функция y = sin x достигает своего … значения.

Ответ: __________

Основной период функции y = sin x равен … .

Ответ: __________

Функция y = sin x:

Ответ: __________

Область значений функции y = sin x – это отрезок … .

Ответ: _____________________

Отрезок, на котором функция y = sin x выпукла вниз:

;

Ответ: __________

Область определения функции y = cos x составляет множество … чисел.

Ответ: _____________________

Функция y = cos x:

ни чётная, ни нечётная;

Ответ: __________

Отрезок / отрезки, на котором / которых функция y = cos x возрастает:

();

(;

Ответ: __________

Отрезок / отрезки, на котором / которых функция y = cos x убывает:

(

[0;

; ;

;

−2.

Ответ: __________

Функция y = cos x:

ограничена только сверху;

ограничена только снизу;

Ответ: __________

В точках вида t = + 2 функция y = cos x достигает своего … значения.

Ответ: _____________________

Основной период функции y = cos x равен … .

Ответ: __________

Функция y = cos x:

Ответ: __________

Область значений функции y = cos x – это отрезок … .

Ответ: __________

Отрезок, на котором функция y = cos x выпукла вверх:

;

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

2. Раздавайте видеоуроки в личные кабинеты ученикам.

3. Смотрите статистику просмотра видеоуроков учениками.

Конспект урока "Периодичность функций y=sinx, y=cosx"

· познакомиться с понятием периодичности;

· познакомиться с понятием основного периода;

· узнать основные периоды функций y=sin x, y=cos x.

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте повторим основные свойства функций y = sin x, y = cos x.

Давайте с вами посмотрим на рисунки.

Что мы там видим? Правильно, одно и тоже дерево, но в разные поры года. А на этом рисунке мы видим рушник с геометрическим орнаментом, а здесь – бьющееся сердце. А еще у нас есть приливы и отливы. Что объединяет все эти рисунки? А объединяет их то, что в каждом из приведенных примером есть повторяющиеся элементы. Так, когда мы смотрим на дерево в разные поры года, то мы знаем, что каждая пора повторяется через девять месяцев. Орнамент состоит из повторяющихся элементов. А биение сердца можно описать как повторяющиеся, через определённое время ритмы, сокращения сердечной мышцы. Приливы и отливы также возникают через одинаковое время.

Все эти примеры являются наглядными примерами периодичности.

Определение.

Периодичность – это повторяемость (цикличность) явления через определённые промежутки времени.

А теперь давайте вспомним, как мы вводили понятие синуса и косинуса. Эти понятия мы вводили, используя числовую окружность. Мы говорили, что на числовой окружности можно отложить бесконечно точек. Нами было доказано следующее утверждение.

Какую же функцию мы будем называть периодической?

Определение.

Функцию y = f(x), где x принадлежит множеству X называют периодической, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из множества X выполняется двойное равенство:

f(x-T) = f(x) = f(x+t)

Число T, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функции y = f(x).

Мы знаем, что для любого x справедливы равенства:

Давайте теперь посмотрим на графики наших функций.

Обобщая, можно сделать следующие выводы.

Рассмотрим ещё один пример.

Заметим, что свойством периодичности обладают все тригонометрические функции.

Читайте также: