Формула маклорена для функций x e sin x cos x
Обновлено: 18.05.2024
Пусть функция определена и имеет производные всех порядков до n-го включительно в некоторой окрестности точки а. Тогда имеет место формула Тейлора:
где , а через обозначена бесконечно малая величина более высокого порядка, чем .
При а = 0 формула Тейлора получила называние формулы Маклорена:
Хорошо известны разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена:
Пример 5.14. Разложить по формуле Маклорена функцию .
Подставляя – x вместо x в формулу Маклорена для функции , получим искомое разложение:
Задача 5.15. Написать три первых, отличных от тождественного нуля слагаемых формулы Маклорена для функции .
Решение. Подставляя 2x вместо x в формулу Маклорена для функции , получим
Таким образом, при достаточно малых x, многочлен с точностью до бесконечно малой величины может заменить функцию .
Задача 5.16. Разложить по степеням x – 2 многочлен
Решение. Найдем значения :
img src="https://www.ok-t.ru/studopediaru/baza7/1445216852993.files/image1816.jpg" alt="" /> ,
Остальные производные многочлена четвертой степени тождественно равны нулю. Подставляя найденные производные в формулу Тейлора, получим:
1. Рассмотрим функцию f(x)=e x . Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (n+1) порядка:
Таким образом, получаем
Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение e x .
Например, при x=1, ограничиваясь n=8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e:
Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x|<N.
Обозначим Заметив, что 0<q<1, при n>N можем написать
Но , не зависящая от n, а так как q<1. Поэтому Следовательно,
Таким образом, при любом x, взяв достаточное число слагаемых, мы можем вычислить e x с любой степенью точности.
2. Выпишем разложение по формуле МакЛорена для функции f(x)=sin x.
Найдем последовательные производные от функции f(x)=sin x.
Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:
Несложно заметить, что преобразовав n-й член ряда, получим
Так как , то аналогично разложению e x можно показать, что для всех x.
Пример. Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n=3 будем иметь:
Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:
Таким образом, sin 20°= 0,342 с точностью до 0,001.
3. f(x) = cos x. Аналогично предыдущему разложению можно вывести следующую формулу:
Здесь также для всех x. Докажите формулу самостоятельно.
Найдем формулу МакЛорена для данной функции.
Подставим все найденные производные в ряд МакЛорена.
f(0) = f'(0) = f''(0) =…= f ( n) (0) = e 0 = 1.
e x = 1 + х + .
2. y = sin x.
Имеем f(x) = sin x, f'(x) = cos x, f''(x) = -sin x; f'''(x) = -cos x, f (4) (x) = sin x,
откуда f(0) = 0; f'(0) = 1; f''(0) = 0; f'''(0) = -1, f (4) (0) = 0 и т.д.
Очевидно, что производные чётного порядка f (2n) (0) = 0, а нечётного порядка f (2n-1) (0) = (-1) n -1 , i = 1, 2… . По формуле
sin x = x - .
3. y = cos x.
Рассматривая аналогично, получим
4. y = (1+x) m , где m - любое действительное число.
Имеем f(x) = (1+x) m , f'(x) = m(1+x) m -1 , f''(x) = m(m-1) (1+x) m -2 , f'''(x) = m(m-1) (m-2) (1+x) m -3 , …. , f (n) (x) = m(m-1)…(m-n+1) (1+x) m-n .
При x = 0 f(0) = 1, f'(0) = m, f''(0) = m(m-1), f'''(0) = m(m-1) (m-2),…, f (n) (0) = m(m-1)…(m-n+1).
(1+x) m = 1 + mx + .
Интервала сходимости ряда (-1; 1).
Ряд называется биномиальным. Если m - целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при n = m+1 m-n+1 = 0, n-й член ряда и все последующие равны нулю, т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.
5. y = ln(1+x).
Рассмотрим геометрический ряд
= 1 - x + x 2 - x 3 +…+(-1) n x n +…
со знаменателем q = -х, который сходится при | q | = | -x |<1, т.е. при -1 < х < 1, к функции
Интегрируя почленно равенство в интервале (0; х), где | x |<1, с учётом того, что
In (1+x) = x - .
Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости) есть .
Онлайн калькулятор для разложения функции в ряд Тейлора.
Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
Данный калькулятор предназначен для разложения функции в ряд Тейлора онлайн.
Разложение Тейлора задается единственной формулой для функций, которые раскладывается в степенной ряд по степеням (x-a) в определенном интервале. Разложение ряда Тейлора по степеням x (при a=0) является частным случаем и называется разложением Маклорена.
Калькулятор поможет разложить функцию в ряд Тейлора онлайн. Для того чтобы получить решение, необходимо ввести соответствующие значения в ячейки: вид функции, значение x и степень, до которой нужно разложить ряд.
Читайте также: