Эквивалентной бесконечно малой для функции у sin 5x при х стремящемся к нулю является

Обновлено: 06.07.2024

Математикам не чужда некая романтичность, иначе почему два хоть и важных предела получили наименование "замечательных". Точного обоснования именно такого их названия я не нашел, однако, стоит отметить, что с мнемонической точки зрения - определения отличные, запоминаются на уровне подсознания. Посмотрим, что такого примечательного в этих пределах. Дополнительно заинтригую тем, что есть как минимум 5 замечательных пределов.

Краткий ликбез по пределам

Предел - одно из основных понятий математического анализа. Отличают пределы рядов и функций (мы будем рассматривать функции далее).

На рисунке выше f(x) - обычная парабола, не имеющая пределов на числовой оси, а вот g(x) - показательная функция с основание меньшим единицы, ее предел при x , стремящимся к плюс бесконечности равен 0.

Читается так: чему равен предел функции f(x) при x, стремящимся к a. Читается так: чему равен предел функции f(x) при x, стремящимся к a.

Допустим решим такой простой пример для понимания:

Надпись под пределом фактически означает, что вместо переменной x необходимо подставить в выражение -2. Подставляем и получаем ответ : -9. Думаю теперь можно переходить к основному содержанию.

Первый замечательный предел, он же тригонометрический

Геометрическое доказательство здесь опустим. Просто понимайте, что с уменьшением угла (цифра 1 в кружочке), его синус тоже будет уменьшаться (цифра 2 в кружочке). В какой-то момент времени и синус и угол будут невероятно близки к нулю, НО не предел их отношения, неукоснительно старающийся быть равным единице. Въедливый читатель воскликнет: а как же размерности? Ведь синус безразмерен, а угол измеряется в градусах! Отвечу: угол выражается в радианах, который считается безразмерной единицей. Вспомнить, что такое радиан (в конце статьи).

Кстати, а Вы знаете, что кроме косинуса, синуса, тангенса и котангенса есть еще много неизвестных широкому кругу людей функций? Читайте в моем материале про редкие тригонометрические функции .

Существует ряд следствий из первого замечательного предела

При решении задач с помощью первого замечательного предела следует помнить, что необходимо чтобы:

а) в числителе под синусом и в знаменателе были одинаковые выражения. В ином случае необходимо преобразовывать выражение к такому виду.

б) неопределенность имела вид [0/0]. Это значит, что если отдельно взять числитель и знаменатель, они оба будут стремиться к нулю.

Пример 1. Используем еще одно следствие из первого замечательного предела

Здесь и далее в квадратных скобках я пишу правило, которое будет использоваться для дальнейшего преобразования предела. Хоть это и кажется неправильно с математической точки зрения, однако способствует удобству восприятия решений.

Главная задача в этом примере - привести значения в знаменателе и в числителе к однообразному виду, что мы и делаем умножая их на 1/2.

Воспользуемся определением тангенса, а также тем фактом, что при аргументе, стремящимся к нулю, косинус этого аргумента стремится к 1. В конце получаем деление единицы на бесконечно малую величину, что приводит к плюс бесконечности в ответе.

Здесь используем знание тригонометрических формул двойного угла. В данном случае здесь 2 "полуторных угла (1,5х) ". Сводим к первому замечательному пределу, а в конце узнаем, что синус бесконечно малой величины стремится к нулю. Ответ готов!

Последний пример на самостоятельное устное решение. Пишите его в комментариях!

Во-второй части саги о замечательных пределах, поговорим о пределе под номером 2.

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

Обозначают: $\alpha(x) \sim \beta(x)$ при $x \rightarrow a$.

Задание. Проверить, являются ли функции $\alpha(x) = 5(x^2-5x+6)$ и $\beta(x) = x^2-x-6$ эквивалентными бесконечно малыми при $x \rightarrow 3$.

Решение. Проверим вначале, что данные функции являются бесконечно малыми функциями в точке $x=3$:

Найдем предел отношения этих функций:

Ответ. Заданные функции $\alpha(x) = 5(x^2-5x+6)$ и $\beta(x) = x^2-x-6$ являются эквивалентными бесконечно малыми.

Таблица эквивалентных б.м. функций

Таблица эквивалентных б.м. функций при $x \rightarrow 0$

Предельные равенства для эквивалентных б.м. функций

Предел отношения двух б.м. функций $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ при $x \rightarrow a$ равен пределу отношения эквивалентных им б.м. функций $\alpha^(x)$ и $\beta^(x)$ при $x \rightarrow a$, то есть верны предельные равенства:

Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных б.м. функций не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Задание. Найти предел $\lim _ \frac>$

Решение. При $x \rightarrow 0$: $\sin 2 x \sim 2 x$

Разность двух эквивалентных б.м. функций есть б.м. функция более высокого порядка, чем каждая из них.

Верно и обратное утверждение.

Сумма конечного числа б.м. функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Слагаемое, которое эквивалентно сумме б.м. функций, называется главной частью указанной суммы.

Замена суммы б.м. функций ее главной частью называется отбрасыванием б.м. высшего порядка.

Решение. При $x \rightarrow 0$: $5 x-6 x^ \sim 5 x,$ tg $3 x \sim 3 x$

Подробная теория про бесконечно малые функции по ссылке.

Функция $\alpha(x) =x^2-1$ является б.м. при $x \rightarrow 1$, так как

Бесконечно малые функции одного порядка

Пусть $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ - две б.м. функции при $x \rightarrow a$.

Функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ называются б.м. одного порядка малости при $x \rightarrow a$, если $\lim _ \frac=c \neq 0$

Сравнение бесконечно малых функций не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Рассмотрим функции $\alpha(x)=x^-1$ и $\beta(x)=x-1$, которые являются б.м. при $x \rightarrow 1$:

Найдем предел отношения этих функций при $x \rightarrow 1$:

Так как предел равен конечному, отличному от нуля числу, то рассматриваемые функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ являются б.м. одного порядка малости при $x \rightarrow 1$.

Бесконечно малые функции более низкого и высокого порядков

Если $\lim _ \frac=0$, то $\alpha(x)$ является б.м. более высокого порядка при $x \rightarrow a$, чем $\beta(x)$, а $\beta(x)$ - б.м. более низкого порядка по сравнению с $\alpha(x)$: $\alpha(x)=o(\beta(x))$ при $x \rightarrow a$.

Функция $\alpha(x)=\left(x^-1\right)^$ , $\left(\lim _ \alpha(x)=\lim _\left(x^-1\right)^=0\right)$ является б.м. более высокого порядка, чем функция $\beta(x)=x-1$, $\left(\lim _ \beta(x)=\lim _(x-1)=0\right)$ в точке $x=0$, так как

Если $\lim _ \frac=\infty$, то $\alpha(x)$ - б.м. низшего порядка малости при $x \rightarrow a$ по сравнению с $\beta(x)$.

Рассмотрим функцию $\alpha(x)=x+1$, которая является б.м. в точке $x=-1$: $\lim _ \alpha(x)=\lim _(x+1)=-1+1=0$, и б.м. в этой же точке функцию $\beta(x)=(x+1)^2$: $\lim _ \beta(x)=\lim _(x+1)^=(-1+1)^=0$. Найдем предел частного этих функций:

А поэтому, функция $\alpha(x)$ является б.м. низшего порядка малости при $x \rightarrow -1$, чем функция $\beta(x)$.

Если $\lim _ \frac>=C$, $0 < |C| \lt \infty$, то $\alpha(x)$ называется б.м. порядка $k$ по сравнению с $\beta(x)$ при $x \rightarrow a$.

Функция $\alpha(x)=x+1$ называется б.м. порядка 2 по сравнению с функцией $\beta(x)=\sqrt$ в точке $x=-1$, так как

$1 \neq 0$, что и требовалось доказать.

Эквивалентные (равносильные) бесконечно малые функции

Если $\lim _ \frac=1$, то б.м. функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при $x \rightarrow a$: $\alpha(x) \sim \beta(x)$ при $x \rightarrow a$.

Функции $\alpha(x)=x^4-3x+2$ и $\beta(x)=x^5-4x+3$ являются эквивалентными б.м. в точке $x=1$, так как, во-первых:

Эквивалентные бесконечно малые функции

Сравнение бесконечно малых функций

Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно боль той функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к ка кому пределу.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть и есть б.м.ф. при , т. е. и .

1. Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка.

2. Если , то называется бесконечно малой более высокого порядка, чем .

3. Если , то называется бесконечно малой более низкого порядка, чем .

4. Если не существует, то и называются несравнимыми бесконечно малыми.

Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при , .

Пример №18.1.

Сравнить порядок функций и при .

Решение:

При это б.м.ф. одного порядка, так как

Говорят, что б.м.ф. и одного порядка стремятся к нулю с примерно одинаковой скоростью.

Эквивалентные бесконечно малые функции и основные теоремы о них

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.

Если , то и называются эквивалентными бесконечно малыми (при ); это обозначается так: .

Например, при , т. к. при , т. к. .

Теорема 18.1. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Пусть и при . Тогда

т. е.

Очевидно также, что

Теорема 18.2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

Пусть при . Тогда

аналогично

Справедливо и обратное утверждение-. если разность б.м.ф. и есть бесконечно малая высшего порядка, чем или , то и — эквивалентные бесконечно малые.

Действительно, так как , то , т. е. . Отсюда , т. е. . Аналогично, если , то .

Теорема 18.3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Докажем теорему для двух функций. Пусть при , причем — б.м.ф. высшего порядка, чем , т. е. . Тогда

Следовательно, при .

Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.

Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.

Пример №18.5.

Найти предел .

Решение:

, поскольку и при .

Применение эквивалентных бесконечно малых функций

Вычисление пределов

Для раскрытия неопределённостей вида часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, при , при . Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.

Пример №18.6.

Покажем, что при .

Решение:

Приближенные вычисления

Если , то, отбрасывая в равенстве бесконечно малую более высокого порядка, т. е. , получим приближенное равенство .

Оно позволяет выражать одни бесконечно малые через другие. Приведенные выше важнейшие эквивалентности служат источником ряда приближенных формул.

Приведенные формулы справедливы при малых , и они тем точнее, чем меньше .

Например, графики функций и в окрестности точки 0 практически не различимы (см. рис. 114), а кривая в окрестности точки 0 сливается с прямой (рис. 115). На рисунках 116-118 проиллюстрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых говорилось выше.

Пример №18.12.

Найти приближенное значение для .

Решение:

. Для сравнения результата но таблице логарифмов находим, что

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: