Докажите непрерывность функции y sin x

Обновлено: 30.06.2024

Документ из архива "ответы на теорию", который расположен в категории "к экзамену/зачёту". Всё это находится в предмете "математический анализ" из первого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "математический анализ" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "ответы на теорию"

Производные высших порядков

Заметим, что производную от sin x первого порядка можно выразить через синус следующим образом:
.

Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции:

.
Здесь .

Теперь мы можем заметить, что дифференцирование sin x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .

Докажем это, применяя метод математической индукции.

Мы уже проверили, что при , формула (5) справедлива.

Предположим, что формула (5) справедлива при некотором значении . Докажем, что из этого следует, что формула (5) выполняется для .

Выпишем формулу (5) при :
.
Дифференцируем это уравнение, применяя правило дифференцирования сложной функции:

.
Здесь .
Итак, мы нашли:
.
Если подставить , то эта формула примет вид (5).

Доказать непрерывность функций и

Зададим приращение аргумента функции в точке X:

В лекции "Что такое Internet" также много полезной информации.

Здесь использовано неравенство . Итак, . Тогда , т.е. функция непрерывна в точке X, а т.к. точка X принадлежит R , т.е. произвольна, то можна сказать, что функция непрерывна на всей числовой оси.

2) ыв

Зададим приращение аргумента функции в точке X:

Примеры

Пример 1

Все примеры ⇑ Используя определения по Гейне и Коши доказать, что функция непрерывна для всех x .

Пусть есть произвольное число. Докажем, что заданная функция непрерывна в точке . Функция определена для всех x . Поэтому она определена в точке и в любой ее окрестности.

Используем определение по Гейне

Используем определение непрерывности по Гейне ⇑. Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к : . Применяя свойство предела произведения последовательностей имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к , то
.
Непрерывность доказана.

Используем определение по Коши

Используем определение непрерывности по Коши ⇑.
Рассмотрим случай . Мы вправе рассматривать функцию на любой окрестности точки . Поэтому будем считать, что
(П1.1) .

Применим формулу:
.
Учитывая (П1.1), сделаем оценку:

;
(П1.2) .

Применяя (П1.2), оценим абсолютную величину разности:
;
(П1.3) .
Вводим положительные числа и , связав их соотношениями:
.
Согласно свойствам неравенств, если выполняется (П1.3), если и если , то .

Это означает, что для любого положительного всегда найдется . Тогда для всех x , удовлетворяющих неравенству , автоматически выполняется неравенство:
.
Это означает, что функция непрерывна в точке .

Теперь рассмотрим точку . В этом случае
.
Вводим положительные числа и :
.

Отсюда видно, что для любого положительного всегда найдется . Тогда для всех x , таких что , выполняется неравенство:
.
Это означает, что функция непрерывна в точке .

Аналогичным способом можно доказать, что функция , где n – натуральное число, непрерывна на всей действительной оси.

Пример 2

Заданная функция определена при . Докажем, что она непрерывна в точке .

Рассмотрим случай .
Мы вправе рассматривать функцию на любой окрестности точки . Поэтому будем считать, что
(П2.1) .

Применим формулу:
(П2.2) .
Положим . Тогда
.

Применяя это неравенство, и используя (П2.2), оценим разность:

.
Итак,
(П2.3) .

Вводим положительные числа и , связав их соотношениями:
.
Согласно свойствам неравенств, если выполняется (П2.3), если и если , то .

Теперь рассмотрим точку . Нам нужно показать, что заданная функция непрерывна в этой точке справа. В этом случае
.
Вводим положительные числа и :
.

Отсюда видно, что для любого положительного всегда найдется . Тогда для всех x , таких что , выполняется неравенство:
.
Это означает, что . То есть функция непрерывна справа в точке .

Аналогичным способом можно доказать, что функция , где n – натуральное число, непрерывна при .

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Чтобы найти этот предел, нам нужно преобразовать выражение таким образом, чтобы свести его к известным законам, свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Значение первого замечательного предела:
(1) ;
2) Непрерывность функции косинус:
(2) ;
3) Тригонометрические формулы. Нам понадобится следующая формула:
(3) ;
4) Арифметические свойства предела функции:
Если и , то
(4) .

Применяем эти правила к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(3) .
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.

Теперь сделаем подстановку . При , . Применим первый замечательный предел (1):
.

Сделаем такую же подстановку и используем свойство непрерывности (2):
.

Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):

.

Формула производной синуса доказана.

Непрерывность на концах отрезка

В рассмотренных выше определениях считается, что функция определена на некоторой окрестности слева и справа от точки . Если функция определена на некотором отрезке , то мы можем применять эти определения для внутренних точек отрезка, для которых . Для концов отрезка a и b нужно дать определение односторонней непрерывности, аналогичное определению односторонних пределов.

Определение непрерывности справа (слева)
Функция f ( x ) называется непрерывной справа (слева) в точке x ₀ , если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x ₀ равен значению функции в x ₀ :
.

Текст из документа "ответы на теорию"

Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела сходящейся последовательности.

Теорема (о единственности предела). Последовательность может иметь не более одного предела.

Д оказательство. Пусть последовательность x_n> имеет два предела:

и причем а ≠b Тогда для

найдется номер N₁ такой, что при всех выполняется неравенство |а— x_n| <ε. Найдется также номер N₂ такой, что при всех n ≥ N₂ выполняется неравенство |b — x_n| <ε.

П усть Тогда |а — b| = |а — x_n + x_n — b| ≤ |а — x_n| + |x_n — b| < ε+ε=2ε=

Пришли к противоречию. Теорема доказана

Сформулируйте и докажите теорему об ограниченности сходящейся последовательности.

Т еорема (об ограниченности сходящейся последовательности). Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть _n> сходится, и пусть . Тогда для

положительного числа 1 существует номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство | а- x_n |<l. Отсюда |x_n | -| а| ≤ |а - x_n| <1, т.е. |x_n| < |а| + 1. Следовательно, |x_n| ≤ max(|x₁|. |x_N|, |а| + 1), n =1, 2. и последовательность ограничена. Теорема доказана.

Сформулируйте и докажите теорему о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.

Теорема (о локальной ограниченности функции, имеющей предел). Для функции f(x), имеющей (конечный) предел при x → x₀ существует проколотая окрестность этой точки, на которой данная функция ограничена.

Доказательство. Пусть

Тогда для положительного числа 1 найдется δ > 0 такое, что при 0 < |x — x0| <δ выполняется неравенство |f (x) — a| < 1. Отсюда

|f(x)| = |f(x) — a + a| ≤|f(x) — a| + |a| < 1 + |a|, т.е. |f(x)| < 1 + |a|,

и мы видим, что f (x) ограничена в проколотой δ-окрестности (x₀ — δ, x₀) U (x₀, x₀ + δ) точки x₀. Теорема доказана.

С формулируйте и докажите теорему о сохранении функцией знака своего предела.

Теорема (о сохранении функцией знака своего предела). Пусть предел

положителен. Тогда функция f (x) положительна в некоторой проколотой окрестности точки x0.

Доказательство. Пусть lim f (x) = a, a > 0. Тогда для положительного числа —а/2, найдется δ > 0 такое, что при 0 < |x — x₀| < δ выполняется неравенство

|f (x)-a|<a/2

Это неравенство равносильно такому:

следовательно, f (x) > a/2, т.е. данная функция положительна при x принадлежащем промежутку (x₀ — δ, x₀) U (x₀, x₀ + δ). Теорема доказана.

Сформулируйте и докажите теорему о предельном переходе в неравенстве.

Теорема (о предельном переходе в неравенстве). Пусть функции f (x) и g(x) определены в проколотой окрестности (x₀) точки x₀, причем для любого x (x₀) выполняется неравенство f (x)≥g(x). Тогда, если эти функции имеют пределы и то a ≥ b.

Доказательство. Пусть вопреки утверждению теоремы a < b, и пусть . Тогда существует δ₁ > 0 такое, что при 0 < |x — x0| < δ₁ имеет место неравенство |f (x) — a| < ε, т.е. a — ε< f (x) < a + ε. Аналогично существует δ₂ > 0 такое, что при 0 < |x — x₀| < δ₂ выполняется неравенство |g(x) — b| < ε, т.е. b—ε< g(x) < b+ε.

Если δ = min(δ₁, δ₂), и 0 < |x — x₀| <δ, то , т.е. f (x) < g(x) для указанных значений x — противоречие. Теорема доказана.

Замечание. Если в условии теоремы неравенство f (x) ≥g(x) заменить на строгое, т.е. если f (x) > g(x), то отсюда, вообще говоря, не следует, что a > b. Например, при |x| < 1, x = 0, имеем |x| > x 2 . В то же время

Сформулируйте и докажите теорему о пределе промежуточной функции.

Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения функций.

Сформулируйте и докажите теорему о пределе сложной функции.

Докажите, что

Сформулируйте и докажите теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой.

Сформулируйте и докажите теорему о произведении бесконечно малой функции на ограниченную.

Сформулируйте и докажите теорему о связи между бесконечно большой и бесконечно малой

Сформулируйте и докажите теорему о замене бесконечно малой на эквивалентную под знаком предела.

Сформулируйте и докажите теорему о необходимом и достаточном условии эквивалентности бесконечно малых.

Сформулируйте и докажите теорему о сумме конечного числа бесконечно малых разных порядков.

Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций.

Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности сложной функции.

Сформулируйте и докажите теорему о сохранении знака непрерывной функции в окрестности точки.

Сформулируйте теорему о непрерывности элементарных функций. Докажите непрерывность функции y = sin x.

Теорема . Все элементарные функции непрерывны на своей области определения

Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрезке.

Сформулируйте определение точки разрыва функции и дайте классификацию точек разрыва.

Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты.

Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

Сформулируйте и докажите теорему о связи дифференцируемости и непрерывности функции.

Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух дифференцируемых функций.

Сформулируйте и докажите теорему о производной частного двух дифференцируемых функций.

При условии g(x)≠0

Сформулируйте и докажите теорему о производной сложной функции.

Сформулируйте и докажите теорему о производной обратной функции.

Сформулируйте и докажите свойство инвариантности формы записи дифференциала первого порядка.

Сформулируйте и докажите теорему Ферма.

Сформулируйте и докажите теорему Ролля.

Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа.

Сформулируйте и докажите теорему Коши.

Сформулируйте и докажите теорему Лопиталя - Бернулли для предела отношения двух бесконечно малых функций.

Сравните рост показательной, степенной и логарифмической функций на бесконечности.

Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Выведите формулу Маклорена для функции y = e x с остаточным членом в форме Лагранжа.

Выведите формулу Маклорена для функции y = sin x с остаточным членом в форме Лагранжа.

Выведите формулу Маклорена для функции y = cos x с остаточным членом в форме Лагранжа.

Выведите формулу Маклорена для функции y = ln(1 + x) с остаточным членом в форме Лагранжа.

Выведите формулу Маклорена для функции y = (1 + x) μ с остаточным членом в форме Лагранжа.

Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие неубывания дифференцируемой функции.

Из условия монотонности функции следует, что f(x) не убывает на І. Пусть

Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие невозрастания дифференцируемой функции.

Теорема (необходимое и достаточное словия убывания дифференцируемой функции на промежутке). Пусть функция непрерывна на промежутке I и дифференцируема вовсех его точках, за исключением, может быть конечного их числа. Если производная f’(x) отрицательна всюду где определена и не равна тождественно 0 ни на одном интервале I₁ принадлежащем I, то функция убывает на I

Из условия монотонности функции следует, что f(x) убывает на І. Пусть для некоторых точек х₁ и х₂, x₁<x₂, этого промежутка f(x₁)=f(x₂). Тогда для любой точки х (х₁,х₂) имеем f(x₁)≥f(x)≥(x₂). Это означает, что функция постоянна на (х₁,х₂) , и следовательно, f’(x) тождественно равна 0 на этом интервале, что противоречит условию теоремы. Таким образом f(x₁)≠f(x₂), а тогда f(x₁)>f(x₂) и функция возрастает на I. Теорема доказана.

Сформулируйте и докажите достаточное условие возрастания дифференцируемой функции.

Из условия монотонности функции следует, что f(x) не убывает на І. Пусть

Сформулируйте и докажите достаточное условие убывания дифференцируемой функции.

Теорема (необходимое и достаточное словия убывания дифференцируемой функции на промежутке). Пусть функция непрерывна на промежутке I и дифференцируема вовсех его точках, за исключением, может быть конечного их числа. Если производная f’(x) отрицательна всюду где определена и не равна тождественно 0 ни на одном интервале I₁ принадлежащем I, то функция убывает на I

Определение непрерывности функции в точке
Функция f ( x ) называется непрерывной в точке x ₀ , если она определена на некоторой окрестности U ( x ₀) этой точки, включая саму точку, и если предел при x стремящемся к x ₀ существует и равен значению функции в x ₀ :
.

Здесь подразумевается, что x ₀ – это конечная точка. Значение функции в ней может быть только конечным числом.

Если привлечь сюда определение конечного предела функции в конечной точке, то можно дать развернутую формулировку определения непрерывности функции. Поскольку имеется два равносильных определения предела функции (по Коши и по Гейне), то можно дать, как минимум, еще два эквивалентных определения непрерывности.

Если в определении предела функции в точке , сама точка исключалась из рассмотрения, и мы применяли только проколотые окрестности этой точки, то при определении непрерывности, функция должна быть определена в этой точке и иметь значение, равное предельному. Поэтому при определении непрерывности, можно заменить проколотые окрестности точки простыми окрестностями. Обычно так и делают, хотя никакого противоречия не возникнет, если и при определении непрерывности использовать проколотые окрестности.

Определение непрерывности функции в точке по Гейне
Функция f ( x ) называется непрерывной в точке x ₀ , если она определена на некоторой окрестности U ( x ₀) этой точки, и если для любой последовательности < x_n > , сходящейся к x ₀ : , элементы которой принадлежат окрестности U ( x ₀) , последовательность < f ( x_n ) > сходится к f ( x ₀) :
.

Определение непрерывности функции в точке по Коши
Функция f ( x ) называется непрерывной в точке x ₀ , если она определена на некоторой окрестности U ( x ₀) этой точки, и если, для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 , существует такое число δ_ε > 0 , зависящее от ε , что для всех x , принадлежащих δ_ε - окрестности точки x ₀ : , значения функции принадлежат ε - окрестности точки f ( x ₀) :
.

Запишем эти определения с помощью логических символов существования и всеобщности.
По Гейне:
.
По Коши:
.

Легко видеть, что определение непрерывности отличается от определения предела только тем, что вместо проколотой окрестности точки используется просто окрестность точки, которая содержит . При этом значение предела может быть равным только значению функции в этой точке: .

Можно сформулировать понятие непрерывности в терминах приращений. Для этого мы вводим новую переменную , которая называется приращением переменной x в точке . Далее мы рассматриваем новую функцию:
.
Ее называют приращением функции в точке . Считаем, что она зависит от переменной : . Тогда можно дать еще одно определение.

Определение непрерывности функции в точке в терминах приращений
Функция f ( x ) называется непрерывной в точке x ₀ , если она определена на некоторой окрестности этой точки, и если предел приращения этой функции в точке , при , равен нулю:
.

Определение отсутствия непрерывности

Теперь приведем определение того, что функция не является непрерывной в точке .

Определение отсутствия непрерывности функции в точке
Функция , определенная на некоторой окрестности точки не является непрерывной в этой точке, если предела функции при не существует, или он не равен значению функции в точке :
.

По Гейне это означает, что существует такая последовательность , для которой предел либо не существует, либо он не равен :
.

По Коши это означает, что существует такое , так что для любого существует , для которого :
.

Примеры

Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x; y = sin 2 x и y = sin 3 x .

Пример 1

Найти производную от sin 2x.

Сначала найдем производную от самой простой части:
( 2x )′ = 2( x )′ = 2 · 1 = 2.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь .

( sin 2x )′ = 2 cos 2x.

Пример 2

Найти производную от синуса в квадрате:
y = sin 2 x .

Перепишем исходную функцию в более понятном виде:
.
Найдем производную от самой простой части:
.
Применяем формулу производной сложной функции.

.
Здесь .

Можно применить одну из формул тригонометрии. Тогда
.

Пример 3

Найти производную от синуса в кубе:
y = sin 3 x .

Читайте также:


Сталкер чистое небо секретный торговец на агропроме

Archeage unchained будет ли в россии

Шрек навсегда прикол

Приколы и баги в игре ворлд оф танк блиц

Существует ли пикачу в реальной жизни