Для того чтобы число делилось на 2 достаточно чтобы оно делилось на 4
Обновлено: 08.07.2024
Понятие отношения следования между предложениями позволяет уточнить смысл слов «необходимо» и «достаточно», которые часто употребляются в математике.
Если из предложения А следует предложение В, то говорят, что В – необходимое условие для А, а А – достаточное условие для В.
Другими словами, предикат В(х) логически следует из предиката А(х), т.е. А(х)В(х), то А(х) называют достаточным условием для В(х), а В(х) – необходимым условием для А(х).
условие необходимости: АВ
условие достаточности: ВА
Если же предложения А и В равносильны, то говорят, что А – необходимое условие для В, и наоборот.
Другими словами, если из предиката А(х) логически следует предикат В(х), а из предиката В(х) логически следует предикат А(х), т.е. А(х)В(х), то А(х) – необходимое и достаточное условие для В(х), а В(х) – необходимое и достаточное условие для А(х).
условие необходимости и достаточности:
В начальном курсе математики слова «необходимо» и «достаточно», как правило, не употребляются, но зато широко используются их синонимы – «нужно» и «можно».
Приведем пример. В первой коробке 6 карандашей, во второй – на 2 меньше. Сколько карандашей в двух коробках?
Один из возможных путей поиска решения задачи может быть таким. Учитель спрашивает: можно ли сразу узнать, сколько карандашей (т.е. достаточно ли данных в задаче, чтобы сразу ответить на ее вопрос)?
Учащийся отвечает: нельзя, так как нужно знать, сколько карандашей во второй коробке (т.е. необходимо знать).
Учитель далее спрашивает: можно ли узнать количество карандашей во второй коробке? (т.е. достаточно ли данных в задаче, чтобы сразу ответить на этот вопрос)?
Ученик отвечает: можно.
Учитель спрашивает: что для этого нужно сделать? И т.д.
Правильное употребление слов «нужно» и «можно» – залог успеха в использовании слов «необходимо» и «достаточно» при дальнейшем изучении математики.
Рассмотрим следующие примеры.
1. Вместо многоточия вставим термины «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно»: «Для того чтобы число х являлось делителем числа 15, …, чтобы число х являлось делителем числа 5».
Решение: Введем обозначения: С(х) – «число х делитель числа 5», В(х) – «число х – делитель числа 15».
Для ответа на вопрос задачи нужно выяснить, каким условием является предикат С(х) для предиката В(х).
Для проверки достаточности предиката С(х) выясним, находятся ли С(х) и В(х) в отношении следования. Так как Т = , а Т = 15>, то Т Т и, следовательно, С(х)В(х). Истинность последнего высказывания означает, что С(х) является достаточным условием для В(х).
Проверим, является ли С(х) необходимым условием для В(х), выяснив, истинно ли высказывание В(х)С(х).
Так как найдется такое значение х (например, х = 3), при котором В(х) истинно, а С(х) ложно, то высказывание В(х)С(х) ложно и, следовательно, С(х) не является необходимым условием для В(х).
Таким образом, вместо многоточия можно вставить термин «достаточно»: «Для того чтобы число х являлось делителем числа 15, достаточно, чтобы х являлось делителем числа 5».
2. Дано предложение: «Для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны». Выясним, нельзя ли сформулировать это предложение по-другому.
Поскольку предложение «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны» вытекает из предложения «Четырехугольник – ромб», то предложение «Для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны» можно сформулировать еще так:
1) Из того, что четырехугольник – ромб, следует, что его диагонали взаимно перпендикулярны.
2) Во всяком ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.
3) Если четырехугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.
4) Чтобы диагонали четырехугольника были взаимно перпендикулярны, достаточно, чтобы он был ромбом.
3. Вставить слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно» в предложение «Для того чтобы натуральное число делилось на 6, …, чтобы оно делилось на 2».
Решение: Пусть предложение А – «число делится на 6», В – «Число делится на 2». Тогда, для того чтобы выполнялось условие необходимости, из предложения А должно логически следовать предложение В, а чтобы выполнялось условие достаточности – предложение А должно логически следовать из В.
Действительно, любое число, которое делится на 6, делится на 2. Значит, выполняется условие необходимости. И не верно, что любое число, делящееся на 2, делится на 6 (например, 14 делится на 2, но не делится на 6).
Значит, условие достаточности не выполняется, а вместо многоточия нужно вставить термин «необходимо»: «Для того чтобы натуральное число делилось на 6, необходимо, чтобы оно делилось на 2».
Конечно верно! Так как 4 делится на 2 без остатка, достаточно, чтобы какое-либо число делилось на 4. То же можно было бы сказать о числах 3 и 6: если число делится на 6 без остатка, то на 3 тем более.
Новые вопросы в Математика
Найдите координаты точки пересечения диагоналей четырёхугольника ограниченной графиками функций
40 балов СРОЧНО. В квадрате 5х5 покрасили в чёрный цвет некоторые клетки так, как показано на рисунке. Рассмотрим всевозможные квадраты, стороны ко … торых идут по линиям сетки. В скольких из них одинаковое количество чёрных и белых клеток? распишите решение пожалуйста
Халявные балы, дорогие мои!У Пети три машинки, а у Васи на две больше. Сколько всего машинок?
В городе N, состоящем из островов, с каждого острова выходит либо 10, либо 11 мостов. Причём у любых двух островов, соединенных мостом, количество исх … одящих из него мостов разное. Из какого наименьшего количества островов может состоять город N?
Выберите для каждого суждения (вместо многоточий) подходящую по смыслу логическую связку.
а) Чтобы сварить суп, . иметь воду.
необходимо
достаточно
необходимо и достаточно
б) Чтобы земля на грядках была сырой, . чтобы прошёл дождь.
необходимо
достаточно
необходимо и достаточно
в) Для того чтобы число делилось на 4, . чтобы оно было чётным.
необходимо
достаточно
необходимо и достаточно
г) Чтобы число делилось на 3, чтобы оно делилось на 9.
необходимо
достаточно
необходимо и достаточно
д) Чтобы купить в магазине книгу, . иметь деньги.
необходимо
достаточно
необходимо и достаточно
е) Чтобы играть в хоккей, . иметь клюшку.
необходимо
достаточно
необходимо и достаточно
ж) Чтобы произведение двух чисел равнялось нулю, . чтобы каждое из них равнялось нулю.
необходимо
достаточно
необходимо и достаточно
з) Чтобы произведение двух чисел равнялось нулю, чтобы хоть одно из них равнялось нулю.
необходимо
достаточно
необходимо и достаточно
и) Чтобы умножить сумму нескольких чисел на какое- нибудь число, . каждое слагаемое умножить на это число и произведения сложить.
необходимо
достаточно
необходимо и достаточно
к) Чтобы произведение нескольких чисел разделить на какое-нибудь число, . разделить на это число только один из сомножителей и полученное частное умножить на остальные сомножители.
необходимо
достаточно
необходимо и достаточно
л) Для того чтобы сумма двух чисел была чётным числом, . чтобы каждое из слагаемых было чётным числом.
необходимо
достаточно
необходимо и достаточно
м) Для того чтобы число делилось на 10, чтобы оно делилось на 5.
необходимо
достаточно
необходимо и достаточно
н) Для того чтобы число делилось на 6, чтобы оно делилось на 2 и на 3.
необходимо
достаточно
необходимо и достаточно
о) Для того чтобы число делилось на 12, . чтобы оно делилось на 2 и на 3.
необходимо
достаточно
необходимо и достаточно
п) Для того чтобы число делилось на 30, чтобы оно делилось на 3 и на 10.
необходимо
достаточно
необходимо и достаточно
р) Для того чтобы число делилось на 5, . чтобы оно делилось на 15.
необходимо
достаточно
необходимо и достаточно
с) Чтобы четырёхугольник был квадратом, . чтобы длины всех его сторон были равны.
необходимо
достаточно
необходимо и достаточно
т) Чтобы периметр квадрата был равен 20 см, . чтобы длина его стороны была равна 5 см.
необходимо
достаточно
необходимо и достаточно
у) Чтобы площадь прямоугольника была равна 20 см 2 , . чтобы длины его сторон были равны 4 см и 5 см.
необходимо
достаточно
необходимо и достаточно
Докажи, что высказывание является ложным, и построй его отрицание:
1) Число 0 является натуральным.
2) Число 1 - простое.
3) Между числами 2 и 3 нет других чисел.
4) Сумма 18 ∙ 947 + 456 кратна 9.
5) Число 53 535 353 делится на 3 или на 5.
6) Корнями уравнения х 2 + 2 = 18 являются числа 0 и 4.
7) Дробь 8,9 больше или равна 9.
8) Неправильная дробь меньше единицы.
1) Натуральные числа - 1, 2, 3, 4, .
Число 0 не является натуральным.
2) Простые числа делятся только сами на себя и на единицу. Число 1 не является простым.
3) Неверно, что между числами 2 и 3 нет других чисел. Например, 2,5.
4) 18 ∙ 947 + 456 = 17502. Неверно, что число 17502 кратно 9.
5) 3 + 5 + 3 + 5 + 3 + 5 + 3 + 5 = 32. 32 не делится на 3, значит и 35353535 не делится на 3.
Высказывание «Число 35353535 делится на 3 или на 5» не является ложным, т.к. число делится на 5.
6) х 2 + 2 = 18; х 2 = 16; x1 = 4; x 2 = -4.
Неверно, что корнями уравнения являются числа 0 и 4.
7) Неверно, что дробь 8,9 больше или равна 9.
8) Неверно, что неправильная дробь меньше единицы, например, 3/2 больше единицы.
Читайте также: