Частное решение sin

Обновлено: 04.07.2024

Например, решить дифференциальное уравнение онлайн: y''-2y+1=sinx . Записываем как y''-2*y+1=sin(x) . Для отображение хода решения нажмите Show steps или Step-by-step .

Способы решений дифференциальных уравнений

: yy'''=y'y'' , (y') 2 +2yy''=0 : y''-3y'+2y=0 , y''-2y'+5y =e x

Пример . Найти частное решение дифференциального уравнения y'+xy=x , удовлетворяющего начальному условию y(0)=2 .
Решение.
Данное дифференциальное уравнение – уравнение 1-го порядка, линейное относительно неизвестной функции y.
Применяя метод Бернулли для решения этого уравнения, сделаем замену y(x) = u(x)·v(x) , где u(x) и v(x) – неизвестные функции, которые мы будем искать поочередно.
Согласно правилу дифференцирования произведения, имеем:
y′ = u′·v+u·v′.
Подставляя выражения для y и y' в исходное уравнение, получим:
u′·v+u·v′ + x·u·v = x (*)
Отсюда
u′·v + (u·v′ + x·u·v) = x;
u′·v + u(v′ + x·v) = x;
Выражение в скобках зависит только от v(x) . Будем искать v(x) , исходя из условия:
v′ + x·v = 0.
Рассматривая это равенство как дифференциальное уравнение, найдём частное решение для v(x) методом разделения переменных:
; ;
Переходим к интегралу:
; ; .
Подставим найденную функцию v(x) в уравнение (*):
; .
Найдём теперь общее решение для неизвестной функции u(x) :
.
Окончательно, имеем общее решение исходного дифференциального уравнения:
.
Теперь, используем данное начальное условие и найдём частное решение уравнения:
y(0) = c·e 0 +1 = c+1 = 2
Отсюда c=1 ,
Ответ: частное решение дифференциального уравнения имеет вид: .

а ординату точки \(M\) называют синусом числа \(t\) и обозначают \(sin\) \(t\).

Исходя из определения синуса и косинуса, легко определить по окружности значения углов \(0°\), \(90°\), \(180°\), \(270°\), \(360°\):

Так как в любую точку тригонометрического круга мы придём через целое число оборотов, равных 2 π , то справедливы равенства:

По окружности можно найти углы, синус, косинус которых равен \(0\), \(1\) и \(-1\). Это и будет решение соответствующих простейших тригонометрических уравнений:

sin x = 0, x = π k , где k ∈ ℤ ; sin x = 1, x = π 2 + 2 π k , где k ∈ ℤ ; sin x = − 1, x = 3 π 2 + 2 π k , где k ∈ ℤ ; cos x = 0, x = π 2 + π m , где m ∈ ℤ ; cos x = 1, x = 2 π m , где m ∈ ℤ ; cos x = − 1, x = π + 2 π m , где m ∈ ℤ .

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:

где a – произвольное число.

Решение уравнения sin x = a

Обычная форма записи решения
Более удобная форма записи решения
Ограничения на число a	В случае, когда , уравнение решений не имеет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

В случае, когда , уравнение решений не имеет.

Графическое обоснование решения уравнения sin x = a представлено на рисунке 1

Решение уравнения будем искать в виде y = e rx находим с помощью калькулятора. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 +4 r - 12 = 0
D = 4 2 - 4 • 1 • (-12) = 64

Корни характеристического уравнения:
r₁ = 2
r₂ = -6
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Пример 2.
4y’’ -8y’ + 5y = 5cos(x)
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
4 r 2 -8 r + 5 = 0
D = (-8) 2 - 4 • 4 • 5 = -16

Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r₁ = 1 + 1 /₂i
r₁ = 1 - 1 /₂i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e x cos( 1 /₂x)
y₂ = e x sin( 1 /₂x)
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Пример 3.
y''+3y'+2y=-24e -4x -20sin(2x)
Решаем в два этапа:
а) y''+3y'+2y=-24e -4x
б) y''+3y'+2y=-20sin(2x)
Затем объединяем полученные решения.

Читайте также: